2017年浙江高中数学竞赛
一，填空题（每题8分，共80分）
1在多项式x13x210的展开式x6的系数为______
2已知log5a3log5，则实数a_________
7
a21
3设fxx2axb在01中有两个实数根，则a22b的取值范围是___________
4
设
x
y

R且
si
2
x

cos2
x

cos2xcos2
si
xy
y
si
2
xsi
2
y
1，则
x
y
_______
5已知两个命题，命题p函数fxlogaxx0单调递增；命题q函数gxx2ax10xR若pq为真命题，pq为假命题，则实数a的取值范围为____
6
设
S
是0，5中所有有理想的集合，对简分数8
qSpq1，定义函数
p
f

qp


q
1p
则
fx2在S中根的个数为___________
3
7已知动点PMN分别在x轴上，圆x12y221和圆x32y423上，则PMPN的
最小值为__________
8已知棱长为1的正四面体PABCPC的中点为D动点E在线段AD上，则直线与平面ABC所成的角的取值范围为__________
9
已知平面向量
a
b
c
满足
a
1，b
2，c
30

1若b

c
0，则
ab1c
所有取不
到的值的集合为____________
10已知fxx22x1xx00方程fx21x2fx21x22ax40有三个根x1x2x3若x3x22x2x1，则实数a_______
二解答题
11（本题满分20分）设f1x
x232f
1x
x2
163
f
x
12，对每个
，求
f
x3x
的实数解。
f12（本题满分20分）已知椭圆x2y21的右焦点为F，过F的直线ykx2交椭圆与PQ两点k0
62若PQ的中点为N，O为原点，直线ON交直线x3于M（1）求MFQ的大小；（2）求PQ的最大值
MF
13（本题满分20分）设数列a
满足：a
12a
2a
2
123，证明：如果a1为有理数，则从某项后a
为周期数列
14（本题满分30分）设a1a2a3b1b2b3Z证明：存在不全为零的数
1，2，3012，使得1a12a23a3和1b12b23b3同时被3整除
15（本题满分30分）设a1，a2，，a
为1，2，，
的一个排列，记


F

i1
aiai1

ai1

ai

求mi
F

f参考答案
一，填空题1，【答案】4128
【解析】27C130326C140325C15024C1604128
2【答案】2
【解析】将原式化简为
log75a3log
a2
1
5由于f
x

log
7
5x

3为x

35
上的增函数，
gxlog5x21为R上的增函数，且f2g21。因此可得函数a2
3【答案】02
【解析】因为fxx2axbxa2ba2在01中有两个实数根，所以ab满足
2
4
f0b0f1ab10a24b00a1，由此可得到a22b的取值范围为02
2
4【解析】由于si
2xcos2xcos2xcos2ysi
2xsi
2ysi
xysi
xy且si
xy0，所
以si
xy1。故xy2kkZ
25r