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南京大学工程管理学院2010级
专业
20112012学年第一学期
《概率论与数理统计》期末试卷A答案
注：108413，1509332，310999，t0051617459，
t00251621199，F00（5225）339，F002（5225）429
以下每题10分。1病树的主人外出，委托邻居浇水，设已知如果不浇水，树死去的概率为08。若浇水，则死去的概率为015，有09的把握确定邻居会记得浇水。（1）求主人回来树还活着的概率。（2）若主人回来树已死去，求邻居忘记浇水的概率。解：（1）记A为事件“树还活着”，记W为事件“邻居记得给树浇水”，即有
PW09PW01，PAW085，PAW02
PAPAWPWPAWPW0850902010785
2PWA1PAWPW08010372
1PA
0215
0
xa
2
设随机变量X
的分布函数为
F

x


A

B
arcsi

x

a

a

xa
，（1）求A和B；（2）
1
xa
X的密度函数。
解：（1）因为Fx在xa处右连续，而Fa01，Fa0AπB2。
且由题设条件FaAπB2，Fa0，于是，由分布函数的右连续性得
AπB21，AπB20，解之得，A12，B1π。
（2）在aa内求导得，密度函数Fx
1
，其他地方为0
πa2x2
3设X、Y相互独立，分别服从N01，试求ZXY的密度函数。
解：由题设条件，有
fZz

y
1edyz2y2y22
2π

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2yey21z22dy11
dey21z22
2π0
π1z20


1π

1
1z
2
ey21z22
0
1，π1z2
z。XY服从哥西分布。
4设随机变量X1，，Xm
（
m）相互独立，同分布且均值为零，方差有限非零，记
SX1X
，TXm1Xm
，求S和T的相关系数ST。
解：EXk

0，DXk


2
，则
EX
2k

DXk
2。由于相互独立，故当k
l
时，

EXkXlEXkEXl0，DSDXk
2，k1
m
DTDXl
2，lm1


m

m


covSTEXkXl
EXkXl
EX
2k

EXlXk
m2
k1
lk1
k1lm1
km1
lk
从而ST
covSTDSDT

m2
m。
2
2

5某车间有200台车床，它们独立地工作着，开工率各为06开工时每台车床需耗电5千瓦。问供电所至少需要供给这个车间多少电力，才能以999的概率保证这个车间不会因供电不足而影响生产？
解：把一台车床工作与否看作一次贝努里试验。要得出恰当的用电量，我们应求出某时
刻车间里同时工作的车床台数r，使
r
P200r
Ck200
06k
04200k

0999
k0
P200rP0200r
r200062000604
0200062000604
r1201732r1200999，查表得31099r