西安工程大学数值计算方法实验报告
实验报告八
题目：线性方程组的迭代法摘要：对于工程技术中产生的大型稀疏矩阵方程组，利用迭代法解是最合适的。前言：（目的和意义）掌握Jacobi迭代法、GaussSerdel迭代法、SOR方法的基本原理和应用。数学原理：Jacobi迭代法，对于线性方程组Axb，如果A为非奇异方阵，即aii0i12
则可将A分解为ADLU，其中D为对角阵。其元素为A的对角元素，L与U为A的下三角阵和上三角阵：
0a210La
1a
10
于是Axb转化为：
0a12a
10Ua
1
0
xD1LUxD1b
与之对应的迭代公式为：
1xk1DLUxKDb1
GaussSerdel迭代法，在Jacobi迭代过程中，计算？已经得到，不必再用？，即原来的迭代公式Dxk1LUxKb可以改进为Dxk1LxK1UxKb，于是得到GaussSerdel迭代公式：
1xk1DLUxKDLb1
SOR方法，全称为逐次超松弛迭代法，它是GaussSerdel迭代法的一种加速方法，是解大型稀疏矩阵方程组的有效方法之一，逐次超松弛迭代公式为：
1
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i1
k1kk1kxixiaiibiaijxjaijxjj1jixkxkxkxkTk01i12
12

其中为松弛因子程序设计：本实验采用Matlab编写主程序如下Jacobi迭代法：A5211422310MAXTIME50eps1e4
msizeAxzeros
1yzeros
1k0disp迭代过程X的值情况如下dispXwhile1dispxfori11
s00forj11
ifjissAijxje
dyiAi
1sAiie
de
dfori11
maxepsmax0absxiyie
difmaxepsepsfori11
xiyie
d
2
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retur
e
dfori11
xiyiyi00e
dkk1ifkMAXTIMEerror超过最大迭代次数退出retur
e
de
dGaussSerdel迭代法：A5211422310
msizeAMaxtime50Eps10E4xzeros1
dispxfork1Maxtimedispxfori1
s00forj1
ifijssAijxje
de
dxiAi
1sAiie
difsumxfloorx2Epsbreake
de
dXxdisp迭代结果
3
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XSOR方法：A5211422310b12203；w145Maxtime100Eps1E5formatlo
g
le
gthAk0xo
es
1yxdisp迭代过程dispxwhile1yxdispxfori1
sbiforj1
ifjissAr