20192020学年高中数学考点37抛物线（含2019年高考试题）新人教A版
一、选择题212017全国乙卷理科T10已知F为抛物线Cy4x的焦点过F作两条互相垂直的直线l1l2直线l1与C交于AB两点直线l2与C交于DE两点则ABDE的最小值为A16B14C12D10【命题意图】考查抛物线的相关性质并以抛物线为载体考查直线与抛物线位置关系问题【解析】选A方法一设直线l1方程为yk1x1
24xy联立方程yk1x1
得
k
21
x2
2
k
21
x4x
k
21
0
设Ax1y1Bx2y2Dx3y3Ex4y4所以x1x2
2k1242k124k12k12
2k24
2
同理直线l2与抛物线的交点满足x3x4
k
22

由抛物线定义可知ABDEx1x2x3x42p
2k242k24
2
2
k
2

1
k
22
4
4
21
kk


4
22
8≥2
16
kk
1
2
22
816
当且仅当k1k21或1时取得等号方法二不妨设AB倾斜角为θ0为K2准线交x轴于点G

作AK1垂直于准线垂足为K1AK2垂直x轴垂足2
AFcosGFAK1几何关系易知AK1AF抛物线特性GFppp22
所以AFcosθpAF同理AF
PPBF1cos1cos
f所以AB
2P1cos
2

2P
si

2

又DE与AB垂直即DE的倾斜角为
θ2
DE
2P2P2cos2si
2
而y4x即p2
2
11所以ABDE2p22si
cos

si
2cos24442222si
cossi
cos1si
224
16
si
2
2
≥16当θ
取等号4
即ABDE最小值为16故选A
二、简答题22017浙江高考T21如图已知抛物线xy点A
2
1139B抛物线上的点2424
Pxy
31x过点B作直线AP的垂线垂足为Q22
1求直线AP斜率的取值范围2求PAPQ的最大值【命题意图】本题主要考查直线方程、直线与抛物线的位置关系等基础知识同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力【解析】1设直线AP的斜率为k
14x1k12x213因为x所以直线AP斜率的取值范围是1122x2
f2联立直线AP与BQ的方程
11kxyk024xky93042
解得点Q的横坐标是xQ
k24k32k21
因为PAk21x

12k1k12
PQk1xQx2
k1k1
k21
3
2

所以PAPQk1k13令fkk1k12因为r