复变函数复习重点
一复数的概念
1复数的概念：zxiy，xy是实数xRezyImzi21
注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小
2复数的表示
1）模：zx2y2；
2）幅角：在z0时，矢量与x轴正向的夹角，记为Argz（多值函
数）；主值argz是位于中的幅角。
3）argz与arcta
y之间的关系如下：
x
当x0argzarcta
y；
x
当
x

0

y


y

0arg0arg
zz

arcta
arcta

yxyx

；
4）三角表示：zzcosisi
，其中argz；注：中间一定是“”
号。
5）指数表示：zzei，其中argz。
二复数的运算
1加减法：若z1x1iy1z2x2iy2，则z1z2x1x2iy1y22乘除法：
1）若z1x1iy1z2x2iy2，则
z1z2x1x2y1y2ix2y1x1y2；
z1z2

x1x2
iy1iy2

x1x2
iy1x2iy2iy2x2iy2

x1x2x22

y1y2y22
i
y1x2x22
y2x1y22
。
2）若z1z1ei1z2z2ei2则
f；z1z2
z1
zei122
z1z1ei12z2z2
3乘幂与方根
1）若zzcosisi
zei，则z
z
cos
isi
。z
ei
2）若zzcosisi
zei，则


z

z
1


cos

2k

isi

2k


k012
1（有
个相异的值）
（三）复变函数
1．复变函数：wfz，在几何上可以看作把z平面上的一
个点集D变到w平面上的一个点集G的映射
2．复初等函数
1）指数函数：ezexcosyisi
y，在z平面处处可导，处处解析；
且ezez。
注：ez是以2i为周期的周期函数。（注意与实函数不同）
3）对数函数：L
zl
ziargz2kk012（多值函数）；
主值：l
zl
ziargz。（单值函数）
L
z的每一个主值分支l
z在除去原点及负实轴的z平面内处处解析，且l
z1；
z
注：负复数也有对数存在。（与实函数不同）
3）乘幂与幂函数：；abebL
aa0
zbebL
z
z0
注：在除去原点及负实轴的z平面内处处解析，且zbbzb1。
4）三角函数：si
zeizeizcoszeizeiztgzsi
zctgzcosz
2i
2
cosz
si
z
si
zcosz在z平面内解析，且si
zcoszcoszsi
z
注：有界性si
z1cosz1不再成立；（与实函数不同）
1
f4）双曲函数shzezezchzezez；
2
2
shz奇函数，chz是偶函数。shzchz在z平面内解析，且
shzchzchzshz。
（四）解析函数的概念
1．复变函数的导数
1）点可导：
f


z0


lim
z0
f
z0

z
z
f
z0
；
2）区域可导：fz在区域内点点可导。
2．解析函数的概念1）点解析：fz在z0及其z0的邻域内可导，称fz在z0点解析；2）区域解析：fz在区域内每一点解析，称fz在区域内解析；3）若fz在z0点不解析，称z0r