为fz的奇点；3．解析函数的运算法则：解析函数的和、差、积、商（除分母为
零的点）仍为解析函数；解析函数的复合函数仍为解析函数；
（五）函数可导与解析的充要条件
1．函数可导的充要条件：fzuxyivxy在zxiy可导uxy和vxy在xy可微，且在xy处满足CR条件：
uvuvxyyx
此时，有fzuiv。
xx
2．函数解析的充要条件：fzuxyivxy在区域内解析uxy和vxy在xy在D内可微，且满足CR条件：
2
fuvuv；
xyyx
此时fzuiv。
xx
注意：若uxyvxy在区域D具有一阶连续偏导数，则uxyvxy在区域D内是可微的。因此在使用充要条件证明时，只要能说明uv具有一阶连续偏导且满足CR条件时，函数fzuiv一定是可导或解析的。
3．函数可导与解析的判别方法
1）利用定义
（题目要求用定义，如第二章习题1）
2）利用充要条件（函数以fzuxyivxy形式给出，如第二
章习题2）
3）利用可导或解析函数的四则运算定理。（函数fz是以z的形式
给出，如第二章习题3）
（六）复变函数积分的概念与性质
1．
复变函数积分的概念：c
f

zdz

lim



k1
f
k
zk
，c
是光滑曲线。
注：复变函数的积分实际是复平面上的线积分。
2．复变函数积分的性质
1）
c
f
zdz

c1
f
zdz
（c1与c的方向相反）；
2）cfzgzdzcfzdzcgzdz是常数；
3）若曲线c由c1与c2连接而成，则cfzdzc1fzdzc2fzdz。
3．复变函数积分的一般计算法
3
f1）化为线积分：cfzdzcudxvdyicvdxudy；（常用于理论证明）
2）参数方法：设曲线c：zztt，其中对应曲线c的起
点，对应曲线c的终点，则
c
f
zdz



f
ztztdt
。
（七）关于复变函数积分的重要定理与结论
1．柯西古萨基本定理：设fz在单连域B内解析，c为B内任一
闭曲线，则
fzdz0
c
2．复合闭路定理：设fz在多连域D内解析，c为D内任意一条
简单闭曲线，c1c2c
是c内的简单闭曲线，它们互不包含互不
相交，并且以c1c2c
为边界的区域全含于D内，则
①

fzdzfzdz
其中c与ck均取正向；
c
k1ck
②fzdz0，其中由c及c1k12
所组成的复合闭路。
3．闭路变形原理：一个在区域D内的解析函数fz沿闭曲线c的
积分，不因c在D内作连续变形而改变它的值，只要在变形过程
中c不经过使fz不解析的奇点。
4．解析函数沿非闭曲线的积分：设fz在单连域B内解析，Gz
为
f
z
在
B
内的一个原函数，则
z2z1
f
zdz
Gz2Gz1
z1z2B
r