小题满分12分）解：（Ⅰ）
2
502212882505024，…………4分302030209
故有975以上的把握认为“喜欢空间想象”与“性别”有关；…………6分（Ⅱ）由题知选做立体几何题且答对的共24人，其中男生20人、女生4人，…………8分故X的所有取值分别为012，分布列为
XP
EX1……12分
（19）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）b
1a2
11
0314
147
2314
…………11分
1a2
1…………2分2
…………4分
1a2
1112
11a2
11b
，故b
为等比数列；…………6分2212
1
（Ⅱ）由（Ⅰ）知b
a11

1，…………8分2
1
a2
1
111，又a2
a2
11，a2
1a2
23，…………10分
122
S2

12
3
41…………12分3
12
21221
（20）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由题知
b23a22，…………2分ca3c2
a3b1c2，
x2椭圆C的方程为y21；…………4分3
（Ⅱ）设Px0y0，当切线l1l2的斜率均存在时，分别设为k1k2，设过点P的切线方程为yy0kxx0，
f与C的方程联立得kx2y0kx0kxy0kx010，
222
13
则4ky0kx04ky0kx010，…………6分
2222
13
11y0kx020，整理得331221121x0k2x0y0ky00，…………8分3333
即k
2
k1k2
1y01y201，即l1l2，MPN90；…………10分23x0y01
22
22
2
2
当l1或l2的斜率不存在时，必是x03或y01，又x0y04，P31，此时一条切线与x轴垂直，一条切线与x轴平行，仍有l1l2即
MPN90；…………12分
综上，对任意点P，MN为圆E的直径（21）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）fx
1a，fx有两个不同的零点，fx在0内必不单调，故x111，fx在0上单增，上单减，…………3aaa
a0，…………1分
此时fx0x分
1fxmaxfl
a1b，无最小值；…………4分a
（Ⅱ）由题知
xl
x1ax1b0，两式相减得l
1ax1x20即x2l
x2ax2b0
x1x2a，…………6分x1x2l

1故要证x1x22a
x1x22即证x1x2xl
21x2
即证
fl
2
x1x1x22x1x22，x2x1x2x2x1r