高等代数习题及答案1篇一：高等代数习题解答第一章高等代数习题解答第一章多项式补充题1．当abc取何值时，多项式fxx5与gxax22bx1cx2x2相等？6136提示：比较系数得abc555补充题2．设fxgxhxx，f2xxg2xx3h2x，证明：fxgxhx0．证明假设fxgxhx0不成立．若fx0，则f2x为偶数，又g2xh2x等于0或次数为偶数，由于g2xh2xx，首项系数（如果有的话）为正数，从而xg2xx3h2x等于0或次数为奇数，矛盾．若gx0或hx0则xg2xx3h2x为奇数，而f2x0或f2x为偶数，矛盾．综上所证，fxgxhx0．1．用gx除fx，求商qx与余式rx：1）fxx33x2x1，gx3x22x1；2）fxx42x5，gxx2x2．1）解法一待定系数法．由于fx是首项系数为1的3次多项式，而gx是首项系数为3的2次多项式，1所以商qx必是首项系数为的1次多项式，而余式的次数小于2．于是可设31qxxarxbxc3根据fxqxgxrx，即1x33x2x1xa3x22x1bxc3右边展开，合并同类项，再比较两边同次幂的系数，得
f2133a12ab1ac337262解得abc，故得99917262qxxrxx3999解法二带余除法．321131112133741337147399262991739得17262qxxrxx39992）qxx2x1rx5x7rx2．mpq适合什么条件时，有1）x2mx1x3pxq2）x2mx1x4px2q1除x3px1）解x2mx得余式为：q262x99rxpm21xqm，pm210令rx0，即qm0故x2mx1x3pxq的充要条件是mq2pm101除x4px2q得余式为：2）解x2mxrxmpm22xqpm21，2mpm20令rx0，即2qpm10解得x2mx1x4px2q的充要条件是m0或pq1q12p2m3．求gx除fx的商qx与余式rx：
f1）fx2x55x38xgxx32）fxx3x2xgxx12i1）解法一用带余除法（略）．解法二用综合除法．写出按降幂排列的系数，缺项的系数为0：320508061839117327261339109327所以qx2x46x313x239x109rx3272）解法一用带余除法（略）．解法二用综合除法．写出按降幂排列的系数，缺项的系数为0：fx12i111012i42i98i12i52i98i所以qx2i8x2ix52irx94．把fx表成xx0的方幂和，即表成c0c1xx0c2xx02的形式：1）fxx5x012）fxx42x23x023）fxx42ix31ix23x7ix0i注设fx表成c0c1xxcx20x的形式，则c0就是fx被xx0除02所得的余数，c1就是fx被xx0除所得的商式c1c2xxcx2
f0x再被03xx0除所得的余数，逐次进行综合除法即r