13x310＋l
xe1＝43
答案
43
8．解析f′x＝x2－2x－3＝x＋1x－3函数在－∞－1和3＋∞上是增函数在
－13上是减函数由fx极小值＝f3＝－10＜0fx极大值＝f－1＝23＞0知函数fx的
图象与x轴的交点个数为3
答案3
9．解1因fx＝x3＋ax2＋bx＋1故f′x＝3x2＋2ax＋b
令x＝1得f′1＝3＋2a＋b由已知f′1＝2a因此3＋2a＋b＝2a解得b＝－3又令
x＝2得f′2＝12＋4a＋b由已知f′2＝－b因此12＋4a＋b＝－b解得a＝－32
因此fx＝x3－32x2－3x＋1从而f1＝－52
3
f又因为f′1＝2×－32＝－3故曲线y＝fx在点1f1处的切线方程为y－－52＝－3x－1即6x＋2y－1＝02由1知gx＝3x2－3x－3e－x从而有g′x＝－3x2＋9xe－x令g′x＝0得－3x2＋9x＝0解得x1＝0x2＝3当x∈－∞0时g′x＜0故gx在－∞0上为减函数；当x∈03时g′x＞0故gx在03上为增函数；当x∈3＋∞时g′x＜0故gx在3＋∞上为减函数；从而函数gx在x1＝0处取得极小值g0＝－3在x2＝3处取得极大值g3＝15e－310．解1由题知fx定义域为0＋∞且f′x＝1x＋xa2＝x＋x2a∵a＞0∴f′x＞0故fx在0＋∞上是单调递增函数．2由1知：f′x＝x＋x2a①若a≥－1则x＋a≥0即f′x≥0在1e上恒成立此时fx在1e上为增函数∴fxmi
＝f1＝－a＝32∴a＝－32舍去．②若a≤－e则x＋a≤0即f′x≤0在1e上恒成立此时fx在1e上为减函数∴fxmi
＝fe＝1－ae＝32a＝－e2舍去．③若－e＜a＜－1令f′x＝0得x＝－a当1＜x＜－a时f′x＜0∴fx在1－a上为减函数；当－a＜x＜e时f′x＞0∴fx在－ae上为增函数．∴fxmi
＝f－a＝l
－a＋1＝32a＝－e综上可知a＝－e
4
f11．1解由题知fx的定义域为0＋∞f′x＝a＋x1＋2ax＝2ax2＋xa＋1
当a≥0时f′x＞0故fx在0＋∞上单调增加；当a≤－1时f′x＜0故fx在0＋∞上单调减少；
当－1＜a＜0时令f′x＝0解得x＝
a＋1－2a
则当x∈0，
－a2＋a1时f′x＞0；
x∈
－a2＋a1，＋∞时f′x＜0
故fx在0，
－a＋2a1上单调增加
在
－a2＋a1，＋∞上单调减少．
2证明不妨假设x1≥x2
由1知当a≤－2时fx在0＋∞上单调减少
所以fx1－fx2≥4x1－x2等价于fx2－fx1≥4x1－4x2即fx2＋4x2≥fx1＋
4x1令gx＝fx＋4x则g′x＝a＋x1＋2ax＋4＝2ax2＋4xx＋a＋1
于是g′x≤－4x2＋x4x－1＝－
x－x
2
≤0
从而gx在0＋∞上单调减r