初中数学勾股定理的应用
一．解答题（共30小题）1．问题背景：在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为、、，求这个三角形的面积．小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图所示．这样不需求△ABC
的高，而借用网格就能计算出它的面积．（1）请你将△ABC的面积直接填写在横线上（2）若△ABC三边的长分别为、
；、2（m＞0，
＞0，且
m≠
），运用构图法可求出这三角形的面积为．2．如图，AB⊥MN于A，CD⊥MN于D．点P是MN上一个动点．（1）如图①．BP平分∠ABC，CP平分∠BCD交BP于点P．若AB4，CD6．试求AD的长；（2）如图②，∠BPC∠BPA，BC⊥BP，若AB4，求CD的长．
3．定义：若三角形三个内角的度数分别是x、y和z，满足xyz，则称这个三角形为勾股三角形．（1）根据上述定义，“直角三角形是勾股三角形”是真命题还是假命题；（2）已知一勾股三角形三个内角从小到大依次为x、y和z，且xy2160，求xy的值；（3）如图，△ABC中，AB，BC2，AC1，求证：△ABC是勾股三角形．
2
2
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4．一架梯子长25米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，（1）这个梯子的顶端距地面有多高？（2）如果梯子的顶端下滑了4米到A′，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？
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f5．一个正方体物体沿斜坡向下滑动，其截面如图所示．正方形DEFH的边长为2米，坡角∠A30°，∠B90°，BC6米．当正方形DEFH运动到什么位置，即当AE为多少米时？有222DCAEBC．
6．已知，如图，点A（a，b），B（c，d）在平面直角坐标系中的任意两点，且AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D．（1）CD，DBAC；（用含a，b，c，d的代数式表示）（2）请猜想：A，B两点之间的距离；（3）利用猜想，若A（2，5），B（4，4），求AB两点之间的距离．
7．在矩形ABCD中，ABa，BCb，M是BC的中点，DE⊥AM，垂足为
E．（1）如图①，求DE的长（用a，b表示）；（2）如图②，若垂足E落在点M或AM的延长线上，结论是否与（1）相同？8．如图，在四边形ABCD中，∠BAD∠DBC90°，若AD4cm，AB3cm，BC12cm，求CD的长．
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f9．如图，已知在△ABC中，∠A90°，D是BC中点，且DE⊥BC于D，交AB于E，求证：BEEAAC．
222
10．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，AB3，BD2，DC1，求AC的值．
11．我们新定义一种三角形：两边平方和等于第三边平方的4倍的三角形叫做常态三角形．r