第16讲直角三角形
【考纲要求】1.了解直角三角形的有关概念,掌握其性质与判定.2.掌握勾股定理与逆定理,并能用来解决有关问题【命题趋势】直角三角形是中考考查的热点之一,题型多样,多以简单题和中档难度题出现,主要考查直角三角形的判定和性质的应用,以及运用勾股定理及其逆定理来解决实际问题的能力【考点探究】考点一、直角三角形的判定【例1】如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,点D为边BC上的任一点,DF⊥AB于F,DE⊥AC于E,M为BC的中点,试判断△MEF的形状,并证明你的结论.
分析:连接AM,可得AM=BM,然后证明△BFM≌△AEM,得到FM=ME,∠EMF=90°
解:△MEF是等腰直角三角形.连接AM,∵∠BAC=90°,AM是斜边BC的中线,∴MA=MB=MC,MA⊥BC∵AB=AC,∴∠B=∠BAM=∠MAE=45°∵DF⊥AB,DE⊥AC,∴∠AFD=∠AED=∠FAE=90°,∴四边形DFAE是矩形,∴FD=EA又∵FB=FD,∴FB=EA,∴△BFM≌△AEMSAS,∴FM=EM,∠BMF=∠AME∵∠AMF+∠BMF=90°,∴∠EMF=∠AMF+∠AME=90°,
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f∴△MEF是等腰直角三角形.方法总结证明一个三角形是直角三角形的方法比较多,最简捷的方法就是求出一个
角等于90°,也可以利用三角形一边上的中线等于这边的一半,或者利用勾股定理的逆定理证得.触类旁通1具备下列条件的△ABC中,不能成为直角三角形的是1A.∠A=∠B=∠C2C.∠A+∠B=∠C考点二、直角三角形的性质【例2】两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置,图2是由它抽象出的几何图形,B,C,E在同一条直线上,连接DCB.∠A=90°-∠CD.∠A-∠C=90°
1请找出图2中的全等三角形,并给予证明说明:结论中不得含有未标识的字母;2证明:DC⊥BE1解:图2中△ABE≌△ACD证明如下:∵△ABC与△AED均为等腰直角三角形,∴AB=AC,AE=AD,∠BAC=∠EAD=90°∴∠BAC+∠CAE=∠EAD+∠CAE,即∠BAE=∠CAD又∵AB=AC,AE=AD,∴△ABE≌△ACD2证明:由1△ABE≌△ACD知∠ACD=∠ABE=45°又∠ACB=45°,∴∠BCD=∠ACB+∠ACD=90°,∴DC⊥BE方法总结直角三角形除具有两锐角互余、两直角边的平方和等于斜边的平方、斜边的中线等于斜边的一半这些性质外,还具有外接圆半径等于斜边的一半,内切圆半径等于两直角边的和与斜边差的一半,它的外心是斜边的中点,垂心是直角顶点等性质.考点三、勾股定理及其逆定理
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f【例3】如图,有一块直角三角形纸片,两直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC沿直线AD折叠,使r