＝180°时，
第24题图③
DEAD．CFDC
DEAD成立，证明如下：CFDC在AD的延长线上取点M，使CM＝CF，则∠CMF＝∠CFM．∵AB∥CD，∴∠A＝∠CDM，A∵∠B∠EGC＝180°，∴∠AED＝∠FCB，∴∠CMF＝∠AED．E∴△ADE∽△DCM，
B
FG
D
M
第24题图②
C
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DEADDEAD，即．CFDCCMDCDE25（3）．CF24
∴9、（2013杭州压轴题）如图，已知正方形ABCD的边长为4，对称中心为点P，点F为BC边上一个动点，点E在AB边上，且满足条件∠EPF45°，图中两块阴影部分图形关于直线AC成轴对称，设它们的面积和为S1．（1）求证：∠APE∠CFP；（2）设四边形CMPF的面积为S2，CFx，．
①求y关于x的函数解析式和自变量x的取值范围，并求出y的最大值；②当图中两块阴影部分图形关于点P成中心对称时，求y的值．
考点：四边形综合题．分析：（1）利用正方形与三角形的相关角之间的关系可以证明结论；（2）本问关键是求出y与x之间的函数解析式．①首先分别用x表示出S1与S2，然后计算出y与x的函数解析式．这是一个二次函数，求出其最大值；②注意中心对称、轴对称的几何性质．解答：（1）证明：∵∠EPF45°，∴∠APE∠FPC180°45°135°；而在△PFC中，由于PF为正方形ABCD的对角线，则∠PCF45°，则∠CFP∠FPC180°45°135°，∴∠APE∠CFP．（2）解：①∵∠APE∠CFP，且∠FCP∠PAE45°，∴△APE∽△CPF，则．AB，
而在正方形ABCD中，AC为对角线，则AC又∵P为对称中心，则APCP，∴AE．
如图，过点P作PH⊥AB于点H，PG⊥BC于点G，
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P为AC中点，则PH∥BC，且PHBC2，同理PG2．S△APE×2×，
∵阴影部分关于直线AC轴对称，∴△APE与△APN也关于直线AC对称，则S四边形AEPN2S△APE而S22S△PFC2×；2x，2x，
∴S1S正方形ABCDS四边形AEPNS216
∴y


1．
∵E在AB上运动，F在BC上运动，且∠EPF45°，∴2≤x≤4．令a，则y8a8a1，当a
2
，即x2时，y取得最大值．
而x2在x的取值范围内，代入x2，则y最大4211．∴y关于x的函数解析式为：y1（2≤x≤4）的最大值为1．，y
②图中两块阴影部分图形关于点P成中心对称，而此两块图形也关于直线AC成轴对称，则阴影部分图形自身关于直线BD对称，则EBBF，即AEFC，∴x，解得x，代入x，得y2．点评：本题是代数几何综合题，r