，则y1＝0，z1＝－1，
∴
1＝20，－1为平面PBC的一个法向量．设平面DPC的法向量为
2＝x2，y2，z2，
则
2＝0，
2＝0，
－12x2－23y2＋2z2＝0，∴
－32x2＋23y2＝0，
令x2＝1，则y2＝3，z2＝1，
∴
2＝1，3，1为平面DPC的一个法向量．
∴cos〈
1，
2〉＝
2－15×
5＝15，
故二面角DCPB的余弦值为15
二、重点选做题
1如图，在四棱锥PABCD中，AD∥BC，平面APD⊥平面ABCD，PA＝
PD，E在AD上，且AB＝BC＝CD＝DE＝EA＝2
1求证：平面PEC⊥平面PBD；
2设直线PB与平面PEC所成的角为π6，求平面APB与平面PEC所
成的锐二面角的余弦值．
解：1证明：连接BE
在△PAD中，PA＝PD，AE＝ED，所以PE⊥AD又平面APD⊥平面ABCD，平面APD∩平面ABCD＝AD，所以PE⊥平面ABCD，又BD平面ABCD，故PE⊥BD在四边形ABCD中，BC∥DE，且BC＝DE，
f所以四边形BCDE为平行四边形，又BC＝CD，所以四边形BCDE为菱形，故BD⊥CE，又PE∩EC＝E，所以BD⊥平面PEC，又BD平面PBD，所以平面PEC⊥平面PBD2取BC的中点F，连接EF由1可知，△BCE是一个正三角形，所以EF⊥BC，又BC∥AD，所以EF⊥AD又PE⊥平面ABCD，故以E为坐标原点，分别以直线EF、直线ED、直线EP为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
设PE＝tt0，则D020，A0，－20，P00，t，F3，
00，B3，－10．
因为BD⊥平面PEC，
所以＝－3，30是平面PEC的一个法向量，
又＝3，－1，－t，

－6
－3
所以cos〈，〉＝＝
4＋t2×2
＝3
4＋t2
由已知可得si
π6＝cos〈，〉＝
34＋t2，得
t＝2
2负值舍去．
故P0022，＝3，－1，－22，＝3，10．设平面APB的法向量为
＝x，y，z，
则由
＝＝00，，
3x－y－22z＝0，可得
3x＋y＝0，
取y＝－6，则x＝2，z＝3，
故
＝2，－6，3为平面APB的一个法向量，
所以
cos〈，
〉＝

＝2
－43×
6＝－211
1122
设平面APB与平面PEC所成的锐二面角为θ，
则cosθ＝cos〈，
〉＝21122
f2．如图1，正方形ABCD的边长为4，AB＝AE＝BF＝12EF，AB∥EF，把四边形ABCD沿AB折起，使得AD⊥平面AEFB，G是EF的中点，如图2
1求证：AG⊥平面BCE；2求二面角CAEF的余弦值．解：1证明：连接BG，因为BC∥AD，AD⊥底面AEFB，所以BC⊥底面AEFB，又AG底面AEFB，所以BC⊥AG，因为ABEG，AB＝AE，所以四边形ABGE为菱形，所以AG⊥BE，又BC∩BE＝B，BE平面BCE，BC平面BCE，所以AG⊥平面BCE2由1知四边形ABGE为菱形，AG⊥BE，AE＝EG＝BG＝AB＝4，设r