20192020年高考数学大一轮复习第八章立体几何课时达标检测四十一利
用空间向量求空间角理
一、全员必做题1．已知直三棱柱ABCA1B1C1，∠ACB＝90°，CA＝CB＝CC1，D为B1C1的中点，求异面直线BD和A1C所成角的余弦值．解：如图所示，以C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．设CA＝CB＝CC1＝2，则A1202，C000，B020，D012，∴＝0，－12，＝－20，－2，∴cos〈，〉＝＝－510∴异面直线BD与A1C所成角的余弦值为5102．xx大连二模如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB⊥BC，AA1＝2，AC＝22M是CC1的中点，P是AM的中点，点Q在线段BC1上，且BQ＝13QC11证明：PQ∥平面ABC；2若直线BA1与平面ABM所成角的正弦值为21515，求∠BAC的大小．解：1取MC的中点，记为点D，连接PD，QD∵P为MA的中点，D为MC的中点，∴PD∥AC又CD＝13DC1，BQ＝13QC1，∴QD∥BC又PD∩QD＝D，∴平面PQD∥平面ABC又PQ平面PQD，∴PQ∥平面ABC2∵BC，BA，BB1两两互相垂直，∴以B为坐标原点，分别以BC，BA，BB1所在的直线为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz，设BC＝a，BA＝b，则各点的坐标分别为B000，Ca00，A0，b0，A10，b2，Ma01，∴＝0，b2，＝0，b0，＝a01．
f设平面ABM的法向量为
＝x，y，z，则
＝＝00，，
∴bayx＝＋0z，＝0，取x＝1，则可得平面ABM的一个法向量为
＝10，－a，
∴cos〈
，〉＝
－2a
215
a2＋1b2＋4＝15，
又a2＋b2＝8，∴a4＋4a2－12＝0，
∴a2＝2或－6舍，即a＝2
∴si
∠BAC＝2
22＝12，∴∠BAC＝π6
3如图，在四棱锥PABCD中，PA⊥平面ABCD，∠ABC＝90°，△ABC≌△ADC，PA＝AC＝2AB＝2，E是线段PC的中点．
1求证：DE∥平面PAB；2求二面角DCPB的余弦值．解：1证明：以B为坐标原点，BA所在的直线为x轴，BC所在的直线为y轴，过点B且与平面ABC垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系如图所示．
则B000，C0，3，0，P102，D32，23，0，A100，E12，23，1，
∴＝－101，＝102，＝100．设平面PAB的法向量为
＝a，b，c，则
＝＝00，，∴aa＋＝20c，＝0，∴
＝010为平面PAB的一个法向量．又
＝0，DE平面PAB，∴DE∥平面PAB
2由1易知＝0，3，0，＝－12，－23，2，＝－32，23，0，设平面PBC的法向量为
1＝x1，y1，z1，
f则
1＝0，
1＝0，
∴x1＋2z1＝0，3y1＝0，
令x1＝2r