求通项公式的5种重要方法
一、S
法，根据等差数列、等比数列的定义求通项a
S
S
1
例1
已知数列a
的前
项为S
，S


13a

1
N
1求a1a2
2求证数列a
是等比数列
二、累加、累乘法
1、累加法适用于：a
1a
f
a2a1f1若a
1a
f
2，则a3a2f2
a
1a
f

两边分别相加得a
1a1f
k1
f例2已知数列a
满足a
1a
2
1，a11，求数列a
的通项公式。例3已知数列a
满足a
1a
23
1，a13，求数列a
的通项公式。
2、累乘法适用于：a
1f
a

若a
1f
，则a2f1，a3f2，，a
1f

a

a1
a2
a

两边分别相乘得，a
1
a1

a1
k1
fk
f例4已知数列a
满足a
12
15
a
，a13，求数列a
的通项公式。
例5已知a11a
a
1a
N求数列a
通项公式
f例6已知数列a
满足a11，a
a12a23a3
1a
1
2，求a
的通项公式。
三、待定系数法适用于a
1qa
f
分析：通过凑配可转化为a
11f
2a
1f
解题基本步骤：
1、确定f
2、设等比数列a
1f
，公比为2
3、列出关系式a
11f
2a
1f
4、比较系数求1，2
5、解得数列a
1f
的通项公式6、解得数列a
的通项公式
f例7已知数列a
中，a11a
2a
11
2，求数列a
的通项公式。例8已知数列a
满足a
12a
35
，a16，求数列a
的通项公式。例9已知数列a
满足a
12a
43
1，a11，求数列a
的通项公式。
f四、变性转化法1、倒数变换法适用于分式关系的递推公式，分子只有一项
例10
已知数列a
满足
a
1

2a
a
2

a1

1，求数列a
的通项公式。
2、换元法适用于含根式的递推关系
例11
已知数列a
满足a
1

116
1

4a


124a
，a11，求数列a
的通项公式。
解：令b

1
24a

，则
a


124
b
2
1
故
a
1

124
b
21
1
，代入
a
1

116
1
4a


124a
得
124
b
21
1

116
1
4
124
b
2
1

b


即4b
21b
32
因为b
124a
0，故b
1124a
10
则
2b
1

b


3
，即b
1

12
b


32
，
可化为b
1

3

12
b


3
，
所以b
3是以b13
124a13
124132为首项，以1为公比的等比数列，因此
2
b

3
21
12


12


2
，则
b


1
22
3，即
124a


1
22
3，得
a


23
1
4

1
2

13
。
f练习：
1、若数列a
的前
项和为S
2，则这个数列（）
A．是等差数列，且a
2
1
B．不是等差数列，但a
2
1
C．是等差数列，且a
2
1
D．不是等差数列，但a
2
1
2、数列a
的前
项和为S
2a
3，则a
是（）
A．等比数列B．等差数列C．从第2项起是等比数列r