2009年全国高中数学联赛江西省预赛试题
一、填空题（共8题，每题7分，计56分）1、某人在将2009中间的两个数码00分别换成两位数ab与cd时，恰好都得到完全平方数：
2ab9m22cd9
2m
，则数组m
abcd_________
2、若一个椭圆的焦点和顶点分别是双曲线


y2x21的顶点和焦点，则椭圆的方程为_________916
3、实数xy满足2x23y26y，则xy的最大值是__________。
4、四面体ABCD中，CDBCABBCCDACABBC1，平面BCD与平面ABC成45的二
0
面角，则点B到平面ACD的距离为_________．
5、从集合M123
2009中，去掉所有3的倍数以及5的倍数后，则剩下的元素个数为_________．
xx36、函数fx的值域是_________．1x22
7、cos

15
cos
247coscos_________．151515
若a1a9，a3a5a7a9为一平方数，a2a4a6a8
8、九个连续正整数自小到大排成一个数列a1a2
为一立方数，则这九个正整数之和的最小值是_________．二、解答题（共3题，合计44分）
9、（14分）给定Y轴上的一点A0a（a1），对于曲线y
之间距离AM的最小值（用a表示）．
x21上的动点Mxy，试求AM两点2
Y
A
DE
MFX
o
1
f10、（15分）在一个圆中任取三条互不相交的弦，以其中每两条弦为一组对边，各得到一个凸四
边形，设这三个四边形的对角线的交点分别为MNP；证明：MNP三点共线．
EAD
MHPN
BF
C
11、（15分）
项正整数列x1x2
x
的各项之和为2009，如果这
个数既可分为和相等的41个组，又
可分为和相等的49个组，求
的最小值．
2
f2009年全国高中数学联赛
江西省预赛试题解答
一、填空题（共8题，每题10分，计80分）1、某人在将2009中间的两个数码00分别换成两位数ab与cd时，恰好都得到完全平方数：
2ab9m22cd9
2m
，则数组m
abcd100100
解：注意到，对于整数k，若k的末位数为9，则k的末位数必为3或7，易知
2


522025（444220002ab9，
），5
2
302529cd，因此44m
55，于是，若要m
满足条
2
件，只可能是，m47
53，由于472209，532809，
2
所以ab20cd80m47
53，m
abcd100100．


y2x2x2y21的顶点和焦点，则椭圆的方程为：12、若一个椭圆的焦点和顶点分别是双曲线9161625
解：双曲r