高中二年级（上）数学必修3
第二章：统计222：用样本的数字特征估计总体的数字特征
一：知识点讲解
（一）：众数、中位数、平均数
众数、中位数、平均数的定义
众数：一组数据中重复出现次数
的数。
中位数：把一组数据按置（或中间两个数的
的顺序排列，处在
位
）的数叫做这组数据的中位数。

平均数：如果


个数
x1
、
x2
、……、
x

，那么
x

1

x1

x2

x


叫做这


个数的平均数。
三种数字特征与频率分布直方图的关系
众数：众数是最高长方形的底边中点所对应的数据。
中位数：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图面积相等，由此可以估计中位数的值，但是有偏差。表示样本数据所占频率的等分点。
平均数：平均数等于每个小矩形的面积乘该小矩形底边中点的横坐标之和。平均数是频率分布直方图的“重心”，是频率分布直方图的平衡点。
（二）：标准差、方差
标准差：标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s表示。
假设样本数据是x1、x2、……、x
，x表示这组数据的平均数，计算标准差的步骤如
下：
1求样本数据的平均数x；
2求每个样本数据与样本平均数的差xix（i＝1、2、……、
）；
3求xix2（i＝1、2、……、
）；
4
求1

2
x1x
x2x2
2
x
x
；
5
求s
1

2
x1x
x2x2
2
x
x
，即为标准差。
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f
方差：标准差的平方s2叫做方差。s21

2
x1x
x2x2
2
x
x
，其中，
xi（i＝1、2、……、
）是
，
是
，x是
。
例1：判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”。
1
平均数、众数和中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势。
2
一组数据的众数可以是一个或几个，中位数也具有相同的结论。
3
一组数据的平均数有单位，而方差无单位。
4
平均数可以反映样本数据的离散程度。
5
平均数受数据的极端值的影响较大。
6
样本数据的方差越小说明样本数据的稳定性越差。
（三）：众数、中位数、平均数解读
平均数、中位数和众数的异同
平均数、中位数和众数都是描述一组数据“集中趋势”的统计量，其中平均数是最重要的量。
平均数的大小与一组数据中的每一个数据均有关系，任何一个数据的变化都会相应地引起平均数的变化。因此，与众数、中位数相比，平均数可以反映出更多的关于r