1011121314151617181920219910010110210310410510是无理数6求两个无理数使其和是有理数0）7“如果p则q”的逆否命题是“如果非q则非p”8公理和定义是已被认可的而则必须证明9设a为有理数x为无理数证明①ax是无理数②当a0时ax是无理数证：①用反证法：若ax是有理数，则由有理数对四则运算的封闭性，知xaxa，与已知矛盾，所以ax是无理数。②用反证法：若ax是有理数，则由有理数对四则运算的封闭性，知xaxa0，与已知矛盾，所以ax是无理数。a10证明在任意两个不同的实数之间一定存在一个有理数也一定存在无穷多个有理数提示如果ab则ba0所以存在一个自然数
使得1ba考虑整数集合
kkb并注意到有下界的整数集一定有最小数

f证法11由题目条件，可设ab，则ba0，由欧基米德定律，存在一个自然数k11k
使得ba，所以abb，又kb有下界，故有最小整数k0kb，

所以当mk0时，有k1k1k1mb且a0b0事实上如果b，因而有0

ak011ka0b此为矛盾

2同上可证在a与ck01k1或0与b之间一定有另一个有理数d不妨设
1cd则cdccdab
1即ab之间有无穷多个有理数
证法2由题目条件，可设ab由第1节的命题可知存在非负整数
使得b

b
而21bb
a而b
第一个结论得证又因而b
1k1b
b
kb
b
b
b
即ab之间有无穷多个222
有理数第二个结论的另一证法因为
b

b
ab

1即ab之间有无穷多个有理数
f11写出下述命题的逆命题、否命题和逆否命题并指出哪些命题是真命题①如果今天下雨我就在家里工作②如果这个候选人符合所有的条件她就能被聘用√③设abc是三角形的边长如果abc则这个三角形是直角三角形√④如果角abc是锐角则0角abc90√⑤如果ab则ab①逆命题今天我在家工作是因为天下雨否命题如果今天不下雨我就不在家工作逆否命题今天我不在家工作是因为天没下雨②逆命题如果这个候选人能被聘用是因为她符合所有的条件否命题如果这个候选人不符合某些条件她就不能被聘用逆否命题如果这个候选人没被聘用那就是因为她不符合某些条件√③逆命题设abc是直角三角形的边长则abc√否命题设abc是三角形的边长如果abc则这个三角形不是直角三角形√逆否命题设abc是三角形的边长如果这个三角形不是直角三角形则abc√④逆命题如果0角abc90则角abc是锐角√否命r