别。对于收敛的无穷积分能推出fx0x（参见反常积分）afxdx即使fx0也不cauchy收敛准则u
1
收敛0

p有s
ps
u
1u
2u
p思考正面叙述级数发散的cauchy准则。加括号对于收敛的级数可以任意加括号，新的级数仍收敛且其和不变。也就是说收敛的级数满足结合律。
f评注只要认识到加括号后级数的部分和是原级数部分和的子列即可得到这一结论。我们常常利用这一点证明一个级数的发散性，即先证明加括号的发散，从而推出原级数（去括号的）也发散。二、正项级数正项级数的特点是部分和数列是单调递增的，由此得：基本结论正项级数收敛其部分和有上界。比较判别法：比较判别法的极限形式：评注对于比较判别法，主要考虑
充分大以后（
0）u
与v
的大小关系，因此极限形式更方便。如果limu
l0l，要认识到，当
充分大时，u
与v
是“等价”v
的，即大小“差不多”，确切地说当
0时，存在正常数c1和c2使c1v
u
c2v
，由u
v
c2u
。如果l0或，它们的“大小”关系如何？此c1根式判别法设limu
l，当l1时，比式判别法li
u
收敛；当l1时，u
发散。u
1q1，则u
收敛；u
limu
1q1，则u
发散。u
习题1证明上面根式判别法习题2证明u
1u
lim
lim
1（u
0）u
u
u
1llim
lu
推论：lim评注由习题2知，用比式判别法能判别的，用根式判别法一定能判别，但反之不然。也就是说根式判别法比比式判别法更有效。换言之，凡根式法无能为力时，比式法一定也无能为力。但是，它们在判别发散时，却没有谁比谁有优势可言，都是用一般项不趋于零来推断的。这一点要特别注意，我们在讨论幂级数的收敛半径时就要用到此结论。习题3考虑级数1111112233，说明根式法比比式法更有效。232323评注无论是比式判别法还是根式判别法，其实质都与等比级数数cq
比较的，对于p级1（这种级数的通项比等比级数的通项收敛于零的速度要慢）。如果与p
p必然失效。级数比较还可以得到更细致的一些判别法，拉贝判别法就是其中之一。
f积分判别法：p17，11（1）用拉贝法判别级数根式法都无效。2
11的收敛性，并说明比式法与2
2
1三、一般项级数评注对一般项级数收敛性（即别法得到u
（有无穷多个正项，且有无穷多个负项），一般首先要考虑绝对u
是否收敛），如果是绝对收敛，当然原级也收敛，如果是用根式或比式判u发散，则u
必发散（这在前面的评注中已经说过了）。leib
iz判别法：able引理：ukvk，k12
是两数组，uk单调，kv1vkr