，02x0，

1
AMx，y，z
0，2，22y2z
0
即

x0，yz
取z1，则x0，y1，
∴平面ABM的一个法向量
10，1，1，
zP
M
N
A
O
Bx
Dy
C
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同理可得平面PCD的一个法向量
20，1，1．
∵
1
10110，即
1
1，∴平面ABM⊥平面PCD．
（2）设平面ACM的一个法向量
xyz，
由



AC


AM
可得：
2x2y

4y2z

00
，
令z1，则
211。
设所求角为，则si
CD
6，CD
3
所以所求角的正弦值为6．3
（3）由题意可得，ANNC．
在RtPAC中，PA2PNPC
∴PN8则NCPCPN10NC5，
3
3PC9
∴所求距离等于点P到平面ACM距离的5，9
设点P到平面ACM距离为h，则hAP
26，


3
∴所求距离为5h106．927
【总结升华】在空间图形中，如果线段较多，关系较为复杂（如平行、垂直、角和距离等均有涉及），常常
需要多种方法灵活使用，合理结合，才能达到较为理想的效果，在建立坐标后，应根据条件确定相应点的
坐标，然后通过向量的坐标计算解决相应问题．
举一反三：【变式1】正三角形ABC的边长为4，CD是AB边上的高，E，F分别是AC和BC边的中点，现将△ABC沿CD翻折成直二面角ADCB如图②所示．在图②中求平面ABD与平面EFD的夹角的余弦值．
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【答案】由已知CD⊥AD，CD⊥BD，∴∠ADB就是直二面角ACDB的平面角，∴AD⊥BD．
以D为原点建立空间直角坐标系，如图，则D0，0，0、A0，0，2、B2，0，0、C0，23，
0，E、F分别是AC、BC的中点，
∴E0，3，1，F1，3，0．
设mx，y，z是平面DEF的一个法向量．
由
m
m
DE0
，
DF0
得

x
3y
z3y

0，0，
令
y＝1．
x3，
得

y

1，
∴
z3，
m3，1，3．
同理可求得平面ABD的一个法向量
＝0，1，0，
∴cosm，
m
17．m
77
∴平面ABD与平面EFD夹角的余弦值为7．7
【变式2】如图所示，已知正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面ABCD，且PD1，E，F分别是AB，BC的中点．1求点D到平面PEF的距离；2求直线AC到平面PEF的距离．
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【答案】（1）317；（2）17
17
17
例5．如图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，P是侧棱CC1上的一点，CPm。
（Ⅰ）试确定m，使直线AP与平面BDD1B1所成角的正切值为32；
（Ⅱ）在线段A1C1上是否存在一个定点Q，使得对任意的m，D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP，并
证明你的结论．
【思路r