0或时，向量a平行于b，记作ab；当
a，b时，向量a，b垂直，记作ab．2
要点二：空间向量的基本运算
空间向量的基本运算：
运算类型
几何方法
运算性质
1平行四边形法则：新疆王新敞奎屯OCOAOBab
向
加法交换率：
abba
加法结合率：
量
abcabc
的
加2三角形法则：
新疆王新敞
奎屯
法OBOAAB
ab
ababABBCAC
ABBA0
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向
量三角形法则：
的
BAOAOB
减
ab
法
向
a是一个向量，满足：
量
0时，a与a同向；
的
0时，a与a异向；
乘
法
a0时，
0新疆王新敞
奎屯
OBOAAB
aaaaaababa∥bab
向
量
1．ab是一个数：
的
ababcosa，b；
数2．a0，b0或ab
量
ab0．
积
abba
ababab
abcacbc
2
a

a
2
abab
要点三：空间向量基本定理
共线定理：两个空间向量
a
、
b
（
b
≠
0
），
a

b
的充要条件是存在唯一的实数

，使
a

b
．
共面向量定理：如果两个向量ab不共线，则向量p与向量ab共面的充要条件是存在唯一的一对实数
xy，使pxayb．
要点诠释：（1）可以用共线定理来判定两条直线平行（进而证线面平行）或证明三点共线．（2）可以用共面向量定理证明线面平行（进而证面面平行）或证明四点共面．
空间向量分解定理：
如果三个向量abc不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组xyz，使
pxaybzc
要点诠释：
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（1）空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底；（2）由于零向量可视为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以，三个向量不共面，就隐含着它们都不是零向量0．（3）一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念．要点四：空间向量的直角坐标运算空间两点的距离公式
若Ax1y1z1，Bx2y2z2，则
①ABOBOAx2y2z2x1y1z1x2x1y2y1z2z1；
②AB
2
AB
x2x12y2y12z2z12；
③
AB
的中点坐标为

x1x22
，y1y22
，z1z22

．
空间向量运算的的坐标运算
设ax1y1z1，bx2y2z2，则
①abx1x2y1y2z1z2；
②abx1x2y1y2z1z2；
③ax1y1z1R；
④abx1x2y1y2z1z2；
⑤aaax12y12z12，bbbx22y22z22；
⑥cosa，bab
x1x2y1y2z1z2
a0，b0．
ab
x12r