点：二重积分
二、填空题每小题3分共18分
7极限limysi
2x__________
x0y0
1xy1
难度等级2知识点多元函数极限
答案4

f
分析可通过分母有理化和等价无穷小的代换约去分母上的无
穷小量使分母的极限不为零
解
lim
ysi
2x
ysi
2x1xy1
lim
4
x0y0
1xy1
x0y0
xy
8函数z2x34xyy22x的驻点为__________
i
答案
x2z3y
jy3xz
k
2i4j6k
zy2x
11设fxx4ex2则f690__________
难度等级2知识点函数展开成幂级数
答案

13


23

1
2


难度等级1知识点多元函数极值
分析驻点处函数的偏导数等于0
答案0
分析fxx4ex2x41
x2
f6900因为fxx4ex2幂
0
级数的x69的系数为0
解由

zxzy

6x24y24x2y0

0

解得驻点

13


23


1
2


9设空间区域：x2y2z2R2则x2y2z2dV__________
难度等级2知识点三重积分
答案R4
分析0200rR
x2y2z2dv
2
d

d
Rrr2si
drR4
0
0
0

10设向量场A2z3yi3xzjy2xk则旋度
12设y1xy2xy3x是线性微分方程yPxyQxyfx的三个线性无关的解则微分方程的通解是__________
难度等级1知识点二阶非齐次线性微分方程的通解答案C1y1xy3xC2y2xy3xy3x类似的也可分析由二阶线性微分方程通解的结构定理y1xy3x与y2xy3x是齐次微分方程yPxyQxy0的解因此原方程的通解为C1y1xy3xC2y2xy3xy3x
三、计算题每小题6分共24分
rotA________
难度等级1知识点旋度
13
判断级数

1
1
1a

a

0
的敛散性

f
难度等级2知识点敛散性的判别
难度等级：2；知识点：曲面的切平面
分析对参数进行讨论
解10a

1
lim

1
1a

1a

1
lim

1
1a


1故级数
2
1
11a

发散
2a1111收敛故级数1收敛
1a

a

a

1

11a

14求微分方程xyyy2满足初始条件yx11的解
难度等级2知识点一阶线性微分方程
分析方程为
2的贝努利方程的初值问题
解这是
2的贝努利方程在原式两边同除以xy2得
1y2
dydx

1xy

1x
令
z

1y

则
dzdx


1y2
dy方程化为
dx
dz1z1dxxx
这是一阶线性方程且有x1z11其解为z2x
y
x
故原方程的解为yxx
2x
15确定正数a，使曲面xyza与球面x2y2z227在交点
Mx0y0z0处相切
分析Fxyz0在点x0y0z0处的切平面的法向量为
FxFyFz，两曲面在Mx0y0z0相切，说明法向量平行，且Mx0y0r