从函数视角研究数列
沪教版高二年级第一学期课本中第6页写道：“从函数的观点看，数列可以看成是以正整数集（或其子集）为定义域的函数。”数列是一个定义在正整数集（或其子集）上的特殊函数。从这个意义上看，它丰富了学生所接触的函数概念的范围，引导学生利用函数去研究数列问题，能使解数列的问题更有新意和综合性，更能有效地培养学生的思维品质和创新意识。因此我们在解决数列问题时，应充分利用函数的有关知识，以函数的概念、图像、性质为纽带，架起函数与数列之间的桥梁，揭示它们之间的内在联系，从而有效地解决数列问题。一、数列通项公式、求和公式与函数关系通过对数列中的通项公式以及前
项和公式等这些特殊的函数关系的概念理解与分析，引导学生充分认识，和
的对应关系，从而利用概念，鼓励学生主动探究，挖掘出数列通
项公式、求和公式与函数的内在联系，使学生知识系统化，培养学生数学整体意识，用联系发展的眼光学习数学。在教学实践过程中，通过学生的自主学习，发挥他们的主体作用，归纳出数列通项公式、求和公式与函数对应关系如下：数列等差数列等比数列（指数型函数）通项公式对应函数（时为一次函数）
数列等差数列
前
项和公式
对应函数（时为二次函数）
等比数列（指数型函数）
我们用函数的观点揭开了数列神秘的“面纱”，将数列的通项公式以及前
项和看成是关于
的函数，为我们解决数列有关问题提供了非常有益的启示。例1：等差数列中，，则
分析：因为
是等差数列，所以
是关于
的一次函数，一
次函数图像是一条直线，则（
m）m
m

三点共线，所以利用每两点形成直
1
f线斜率相等，即
，得
0（图像如下），这里利用等差数列通项公
式与一次函数的对应关系，并结合图像，直观、简洁。
例2等差数列为何值时最大？
中，
，前
项和为
，若
，

分析：等差数列前
项和
可以看成关于
的二次函数

，，则因为欲求
是抛物线

上的离散点，根据题意，
最大值，故其对应二次函数图像开口向下，并且对称轴为
，即当
时，
最大。
例3：等差数列集合
a

和等比数列
首项均为1，且公差不等于1，公比
，则
一定含有元素
分析：等差数列必过（1，的一条直线，1）而等比数列它表示指数函数含有元素（1，1）。
，由于首项为1，即首项为1，公比为q，
，所以它的图像是，故，
图像向右平移一个单位得到，必过（1，1），所以此集合中必定
二、构建函数，揭示数列r