ωtdt
k∞
∑
∞
fkerjω


kT
为了简化假设T1则
Frjω
k∞
∑
∞
fkerjω


k
设ze
rjω
带入
fFz
k∞
∑fkz
∞
k
上式称为序列fk的Z变换Fz由被称为序列fk的生成函数用它可以导出fk
上面的推导反映了抽样信号的FT与用其冲激序列的强度构成的信号序列的ZT之间的关系即
FjωFzzejω
而抽样信号的LT与用其冲激序列的强度构成的信号序列的ZT之间的关系为
FsFzzes
如果实际抽样序列的抽样间隔T不等于1则上面两个关系变为
FjωFzzejωTFsFzzesT
在某些情况下Z变换的求和限可以简化1如果fk是一个左边序列其在k0时才有非零值则
Fz
k∞
∑fkz
1
k
2如果fk是一个右边序列则
fFz
∑fkz
k0
∞
k
3如果fk是一个有限长序列则
Fz
kk1
∑fkz
k2
k
二单边Z变换与双边Z变换上面定义的Z变换中的求和在∞0和0∞中进行称为双边Z变换实际工作中信号是有始信号系统也是因果系统其单位函数响应也是一个有始信号所以只要考虑0∞一边就可以了响应的变换称为单边Z变换
Fz
∑fkz
k0
∞
k
与单边LT一样单边Z变换也是离散时间系统研究的重点通过它可以自动引入系统的初始条件得到系统的全响应
三Z变换的收敛域和LT一样ZT也有收敛域的问题ZT是一个级数求和问题ZT存在意味着级数
f收敛Z变换的收敛域也就是使这个级数收敛的全部z的集合
1级数收敛的判别方法
alimk1ρ11比值法k→∞ak
2根值法klimkakρ1→∞
2几种常见序列的收敛域1有限长序列
Fz
kk1
∑fkz
k2
k
a当k10k20收敛域0≤z∞b当k10k20收敛域0z∞c当k10k20收敛域0z≤∞
2右边序列
Fz
∑fkz
k0
∞
k
利用根值法有
k→∞
limkaklimkfkzklimz
k→∞k→∞
1
k
fk1
f∴zlimkfkR
k→∞
所以右边信号的收敛域为是半径R圆心在原点的圆以外的全部区域
k例单边指数序列aεk的z变换和收敛域
解用定义可以求出该序列的z变换为
Zakεk1az1a2z2a3z31z1az1za
其中倒数第二个等号成立的条件为


az11
或者za
这就是其收敛条件
收敛条件也可以用根值法得到
∴zlimkaka
k→∞
思考如果右边序列的起始点不在0收敛区间应该怎样提示收敛域是否包含∞
3左边序列
fFz
k∞
∑fkz
1
1
k
r