第八章
离散时间系统的变换域分析
§81引言
一变换域分析的目的变换域分析的目的在于将原来的求解问题简化对于连续时间系统通过LT可以将原来求解微分方程的问题转变为求解代数方程的问题对于离散时间系统通过Z变换ZT可以将原来求解差分方程的问题转变为求解代数方程的问题
二Z变换的发展史十八世纪DeMoivre提出生成函数并应用于概率论十九世纪Laplace二十世纪Seal对其进行了进一步深入研究二十世纪六十年代起由于计算机技术和控制技术的飞速发展抽样控制理论的应用离散信号处理和数字信号处理得到了广泛应
f用作为离散时间系统分析的重要工具ZT得到了很大的发展现在其用途甚至超过了LT
三离散时间序列的频域分析方法离散时间系统和离散时间序列也可以通过正交分解的方法在频域进行分析这就是离散时间序列傅里叶变换DTFTDTFT可以看成是Z变换的一个特例正如连续时间系统中傅里叶变换可以看成是拉普拉斯变换的一个特例一样离散系统也有频率响应对各种频率的离散正弦信号的响应傅利叶变换的离散形式离散傅利叶变换DFT在离散时间系统分析中占用很重要的地位而DFT的快速算法FFT的提出使得DFT在各种信号处理场合得到的广泛的应用除了DFT以外对于离散时间序列还有其它分析方法例如离散沃尔什变换离散余弦变换等它们在离散信号处理中同样得到的很广泛
f的应用
离散时间系统的变换域分析方法与连续时间系统也有很多相似之处
§82Z变换定义及其收敛域
一Z变换的定义Z变换的定义可以从纯数学的角度进行也可以通过信号分解的角度提出后者更加容易理解本课程中通过连续时间系统的FT导出ZT这样可以视其物理意义更加明确
离散时间信号fk可以看成是连续时间信号通过抽样而得到的冲激序列
fkfδt
k∞
∑fkδtkT
∞
对其fδt进行FT
fFjω
∫
∞
∞
fδtejωtdt
∫∑
∞k∞∞k∞∞k∞
∞∞
fkδtkTejωtdtk∞
∞∞
∑∫∑∑
∞
fkδtkTejωtdt
fkfke
∫
∞
∞
δtkTejωtdt
kT

jωkT

k∞
∑
∞
fkejω

根据Dirichlet条件只有在信号满足绝对可积条件这里可以变成绝对可和条件
k∞
∑
∞
fk∞时才存在FT如果不满足
可以利用LT中的方法在信号上首先乘以一个衰减因子e
rkT
然后再求FT这样一来上式就可以
变成为
Frjω
∫
∞
∞
fδterkTejr