第一章：Mo
teCarlo方法概述
讲课人：XaeroCha
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otesi
tro2mc本章主要概述Mo
teCarlo的一些基础知识，另外包括一个最简单的用Mo
teCarlo方法计算数值积分的例子。
一、Mo
teCarlo历史渊源
Mo
teCarlo方法的实质是通过大量随机试验，利用概率论解决问题的一种数值方法，基本思想是基于概率和体积间的相似性。它和Simulatio
有细微区别。单独的Simulatio
只是模拟一些随机的运动，其结果是不确定的；Mo
teCarlo在计算的中间过程中出现的数是随机的，但是它要解决的问题的结果却是确定的。历史上有记载的Mo
teCarlo试验始于十八世纪末期（约1777年），当时布丰（Buffo
）为了计算圆周率，设计了一个“投针试验”。（后文会给出一个更加简单的计算圆周率的例子）。虽然方法已经存在了200多年，此方法命名为Mo
teCarlo则是在二十世纪四十年，美国原子弹计划的一个子项目需要使用Mo
teCarlo方法模拟中子对某种特殊材料的穿透作用。出于保密缘故，每个项目都要一个代号，传闻命名代号时，项目负责人之一vo
Neuma
灵犀一点选择摩洛哥著名赌城蒙特卡洛作为该项目名称，自此这种方法也就被命名为Mo
teCarlo方法广为流传。
十一、Mo
teCarlo方法适用用途（一）数值积分
计算一个定积分，如，如果我们能够得到fx的原函数Fx，那么直接由表达式Fx1Fx0可以得到该定积分的值。但是，很多情况下，由于fx太复杂，我们无法计算得到原函数Fx的显示解，这时我们就只能用数值积分的办法。如下是一个简单的数值积分的例子。数值积分简单示例
如图，数值积分的基本原理是在自变量x的区间上取多个离散的点，用单个点的值来代替该小段上函数fx值。常规的数值积分方法是在分段之后，将所有的柱子（粉红色方块）的面积全部加起来，用这个面积来近似函数fx（蓝色曲线）与x轴围成的面积。这样做当然是不精确的，但是随着分段数量增加，误差将减小，近似面积将逐渐逼近真实的面积。
1
fMo
teCarlo数值积分方法和上述类似。差别在于，Mo
teCarlo方法中，我们不需要将所有方柱的面积相加，而只需要随机地抽取一些函数值，将他们的面积累加后计算平均值就够了。通过相关数学知识可以证明，随着抽取点增加，近似面积也将逼近真实面积。在金融产品定价中，我们接触到的大多数求基于某个随机变量的函数的期望值。考虑一个欧式期权，假定我们已经知道在期权行权日的股票服从某种分布（理论模型中一般是正态分布），那么用期权收益在这种分布上做积分求期望即r