第四章本构方程
第四章
本构方程
在前面的章节中，已经建立了变形体的平衡微分方程和几何方程，分别是从静力学方面和从几何学方面考察了变形体的受力和变形。但是只有这些方程还不足以解决变形体内的应力和变形问题。对于变形体，未知变量包括6个应力分量，6个应变分量和3个位移分量，一共有15个未知函数，而平衡方程和几何方程一共是9个，未知函数的个数多于方程数。因此还必须研究物体的物理性质，即应力与应变之间的关系。通常称这种关系为变形体的本构方程，或称为物性方程。
41弹性应变能函数
变形固体的平衡问题不仅需要运动微分方程、应变位移方程即变形几何方程还需要将应变分量和应力张量分量联系起来，方能给定物体的材料抵抗各种形式变形的规律。该规律的理论解释需要对分子间力的本质有深入的认识，该分子力力图使固体粒子间保持定的距离，也就是需要对固体中应力分量和应变分量有深入的认识。这种作用机理在非常接近稳定状态的气体中己弄清楚，但对于弹性体情况，目前科学技术发展水平还不能解决这一难题。如要通过实验探求物体内部的应力和应变的关系，则总是从一些量的测量来推理得到，在一般情况下，这些量并非应力或应变的分量例如平均应变、体积压缩、物体表面一线元的伸长等等．因此，在现时应力与应变关系主要是通过直接实验建立。然而该关系中的某些固有的一般特性可以在理沦上加以说朋，如能量守恒定律为应力应变关系的理论研究提供了基础。11应变能密度假设变形的过程是绝热的，也就是在变形过程中系统没有热的损失，而且假设物体中任意无穷小单元改变其体积和形状所消耗的功与其从未变形状态到最终变形状态的转换方式无关。这个条件是弹性的另一种定义。换句话说，就是假设物体粒子互相作用过程中的耗散非保守力的作用与保守力的作用相比是可以忽略的。满足这个假设的物体在卸载后一定回到其初始尺寸和形状，也就是说该物体是理想弹性的。在上述条件下，使弹性体的未变形微元dV变形所需的功可表达为
fxyzxyyzzxdV，即等于单元初始体积dV和6个应变分量的某个函数f
的乘积。该函数称为物体的应变能函数或应变能密度。它依赖于材料的物理特性，但与物体的形状和尺寸无关。应该注意到应变能函数仅依赖于6个应变分量，和
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f第四章本构方程
刚体运动无关。另一方面，应变分量ij可以用三个主应变分量123和对于应变主轴XYZr