②ta
φ＝ba或si
φ＝
ba2＋b2，cos
φ＝
aa2＋b2．
3．研究形如fx＝asi
x＋bcosx的函数性质，都要运用辅助角公式化为一个整体角的正
弦函数或余弦函数的形式．因此辅助角公式是三角函数中应用较为广泛的一个重要公式，也
是高考常考的考点之一．对一些特殊的系数a、b应熟练掌握．例如si
x±cosx＝2
si
x±π4；si
x±3cosx＝2si
x±π3等．
§32简单的三角恒等变换
知识梳理
1．1±
1－cosα
2
2±
1＋cosα
2
3±
1－cosαsi
α1＋cosα1＋cosα
1－cosα
si
α
a2a2＋b2
ba2＋b2点a，b
作业设计
1．C
2．By＝2si
xcosπ3＝si
x．
3．Dfx＝2si
x－π4，x∈0，π2∵－π4≤x－π4≤π4，
∴fxmi
＝2si
－π4＝－1
f4．Dfx＝si
2x＋θ＋3cos2x＋θ＝2si
2x＋π3＋θ当θ＝23π时，fx＝2si
2x＋π＝－2si
2x
5．Dfx＝2si
x－π3，fx的单调递增区间为2kπ－π6，2kπ＋65πk∈Z，令k＝0得增区间为－π6，56π6．A∵α是第三象限角，cosα＝－45，
∴si
α＝－35α
si
2∴11＋－ttaa
αα22＝1＋csois
αα22＝ccoossαα22＋－ssii
αα22＝ccoossαα22＋－ssii
αα22ccoossαα22＋＋ssii
αα22＝1＋cossi
αα＝1－－4535
1－αcos2
1＝－2
7．π
解析
fx＝
22si

2x－
22cos
2x－
21－cos
2x＝
22si

2x＋
22cos
2x－
2
＝si
2x＋π4－2，∴T＝22π＝π
8495解析设α为该等腰三角形的一底角，则cosα＝23，顶角为180°－2α
∴si
180°－2α＝si
2α＝2si
αcosα＝21－32223＝495
9．3解析设该等腰三角形的顶角为α，则cosα＝45，
底角大小为12180°－α．
∴ta
12
180°－α
＝ta
90°－α2＝ta
1
α＝1＋sic
osαα＝1＋345＝3
2
5
10275
解析由题意，5cosθ－5si
θ＝1，θ∈0，π4
f∴cosθ－si
θ＝15由cosθ＋si
θ2＋cosθ－si
θ2＝2∴cosθ＋si
θ＝75
∴cos2θ＝cos2θ－si
2θ＝cosθ＋si
θcosθ－si
θ＝275
11．解1∵fx＝3si
2x－π12＋1－cos2x－π12
＝223si
2x－1π2－12cos2x－1π2＋1＝2si
2x－π12－π6＋1＝2si
2x－π3＋1，∴T＝22π＝π2当fx取得最大值时，si
2x－π3＝1，有2x－π3＝2kπ＋π2，
即x＝kπ＋51π2k∈Z，
∴所求x的集合为xx＝kπ＋51π2，k∈Z．
12．解m＋
＝cosθ－si
θ＋2，cosθ＋si
θ，
m＋
＝cosθ－si
θ＋22＋cosθ＋si
θ2
＝4＋22cosθ－si
θ＝4＋4cosθ＋π4
＝21＋cosθ＋π4
由已知m＋
＝852，得cosθ＋π4＝275
又cosθ＋π4＝2cos2θ2＋π8－1，
所以cos2θ2＋π8＝1265
∵πθ2π，
∴5π8θ2＋π898π
∴cosθ2＋π80
∴cosθ2＋π8＝－45
13．B
y＝2cosx－3si
x＝
13
2cosx－13
3si
13
x＝
13si
φcosx－cosr