第13讲最新考纲
定积分与微积分基本定理
1．了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念．2．了解微积分基本定理的含义
知识梳理1．定积分的概念与几何意义1定积分的定义如果函数fx在区间a，b上连续，用分点将区间a，b等分成
个小区间，在每个小区间上任取一点ξii＝12，…，
，作和式
fξiΔx＝
i＝1


b－a
fξi，当
→∞时，上述和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数fx在区i＝1

间a，b上的定积分，记作bfxdx，即bfxdx＝aa2定积分的几何意义
i＝1

b－a
fξi．
①当fx≥0时，定积分bfxdx表示由直线x＝a，x＝ba≠b，y＝0和曲线y＝fx所围成的曲边梯a形的面积．图1
f②当fx在区间a，b上有正有负时，如图2所示，则定积分bfxdx表示介于x轴．曲线y＝fx以a及直线x＝a，x＝ba≠b之间各部分曲边梯形面积的代数和，即bfxdx＝A1＋A3－A2a2．定积分的性质1bkfxdx＝kbfxdxk为常数．aa
b2bf1x±f2xdx＝bf1xdx±f2xdxaaa
3bfxdx＝cfxdx＋bfxdx其中acb．aac3．微积分基本定理一般地，如果fx是在区间a，b上的连续函数，且F′x＝fx．那么bfxdx＝Fb－Fa，这个a结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿莱布尼兹公式．辨析感悟1．关于定积分概念的理解1定积分概念中对区间a，b的分割具有任意性．√
b－a2当
→＋∞时，和式fξiΔx＝
fξi无限趋近于某一确定的常数．√i＝1i＝13设函数y＝fx在区间a，b上连续，则bfxdx＝bftdt√aa2．定积分的几何意义与物理意义4在区间a，b上的连续的曲线y＝fx和直线x＝a，x＝ba≠b，y＝0所围成的曲边梯形的面积S＝bfxdx√a5若bfxdx0，那么由y＝fx，x＝a，x＝b以及x轴所围成的图形一定在x轴下方．×a6教材习题改编已知质点的速度v＝10t，则从t＝0到t＝t0质点所经过的路程是s＝5t20√3．定积分的性质及微积分基本定理7若fx是连续的偶函数，则8若fx是连续的奇函数，则＝2fxdx√
0a


＝
＝0√
f92013湖南卷改编如果Tx2dx＝9，则常数T＝3√0感悟提升1．一种思想定积分基本思想的核心是“以直代曲”，用“有限”步骤解决“无限”问题，其方
法是“分割求近似，求和取极限”．定积分只与积分区间和被积函数有关，与积分变量无关，如2、3．2．一个定理由微积分基本定理可知求定积分的关键是求导函数的原函r