难点题型拔高练一
1．过抛物线y＝14x2的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点C在直线y＝－1上，若△ABC为正三
角形，则其边长为
A．11
B．12
C．13
D．14
解析：选B由题意可知，焦点F01，易知过焦点F的直线的斜率存在且不为零，设为kk≠0，则
该直线方程为y＝kx＋1k≠0，联立方程得y＝14x2，y＝kx＋1，
∴x2＝4kx＋1，即x2－4kx－4＝0，设Ax1，y1，
Bx2，y2，∴x1＋x2＝4k，x1x2＝－4，设线段AB的中点为M，则M2k，2k2＋1，AB＝1＋k2x1＋x22－4x1x2＝1＋k216k2＋16＝41＋k2，设Cm，－1，连接MC，∵△ABC为等边三角形，∴kMC＝22kk2－＋m2＝－1k，
m＝2k3＋4k，点
Cm，－1到直线
y＝kx＋1
km＋2
的距离MC＝
＝
1＋k2
23AB，∴
km＋2＝
1＋k2
23×41＋k2，∴
2k4＋4k2＋2＝231＋k2，∴1＋k2＝3，∴k＝±2，∴AB＝41＋k2＝12
1＋k2
2．已知函数fx＝2si
ωx＋φω00φπ，fπ8＝2，fπ2＝0，且fx在0，π上单调．下列说法
正确的是
A．ω＝12
B．f－π8＝
6－2
2
C．函数fx在－π，－π2上单调递增
D．函数fx的图象关于点34π，0中心对称
解析：选C由题意得函数fx的最小正周期T＝2ωπ，
因为fx在0，π上单调，所以T2＝ωπ≥π，得0ω≤1
因为fπ8＝2，fπ2＝0，所以fx在0，π上单调递减，又0φπ，0ω≤1，
ω8π＋φ＝34π，所以
ω2π＋φ＝π，
ω＝32，解得
φ＝23π，
f所以fx＝2si
23x＋23π选项A显然不正确．
因为f－π8＝2si
－23×π8＋23π＝2si
71π2＝
6＋2
2，所以B不正确．
因为当－π≤x≤－π2时，0≤23x＋23π≤π3，所以函数fx在－π，－π2上单调递增，故C正确．
因为f34π＝2si
23×34π＋23π＝2si
76π≠0，所以点34π，0不是函数fx图象的对称中心，故D不正确．
3．已知函数fx＝x2－x－x＋11，gx＝l
xx，若函数y＝fgx＋a有三个不同的零点x1，x2，x3其中x1x2x3，则2gx1＋gx2＋gx3的取值范围为__________．
解析：∵gx＝l
xx，∴g′x＝1－xl2

x当
0xe
时，g′x0，
xe时，g′x0，gx单调递减．作出函数gx的大致图象如图
t2－t＋1
令gx＝t，由ft＋a＝
＋a＝0，得关于t的一元二次
t－1
gx单调递增；当所示，方程t2＋a－1t＋
1－a＝0，又fgx＋a＝0有三个根x1，x2，x3，且x1x2x3，∴结合gx的图象可知关于t的一元二次方程有两个不等实根，不妨设为t1，t2，且t1t2，则0t11e，t2＝1e或t10t21e，t1＋t2＝1－a，由Δr