于点P的两点，且满足直线PQ和直线PR的斜率之和为－1，试问直线QR是否经过一定点？若是，求出定点的坐标；否则，请说明理由．
解：1连接AF，EF，由题意及抛物线的定义，得AF＝EF＝AE＝4，即△AEF是边长为4的正三角
形，所以∠FAE＝60°，设准线l与x轴交于点D，在Rt△ADF中，∠FAD＝30°，所以p＝DF＝12AF＝12×4
＝2
2由题意知直线QR的斜率不为0，设直线QR的方程为x＝my＋t，点Qx1，y1，Rx2，y2．
x＝my＋t，
由
得y2－4my－4t＝0，
y2＝4x，
f则Δ＝16m2＋16t0，y1＋y2＝4m，y1y2＝－4t又点P，Q在抛物线C上，
yP－y1yP－y14
4
所以kPQ＝xP－x1＝y42P－y421＝yP＋y1＝y1－1，
同理可得kPR＝y2－41因为kPQ＋kPR＝－1，
所以4＋4＝4y1＋y2－8y1－1y2－1y1y2－y1＋y2＋1
16m－8
＝
＝－1，
－4t－4m＋1
则t＝3m－74
Δ＝16m2＋16t0，由t＝3m－74，14≠m×－1＋3m－74，
解得m∈－∞，－72∪12，1∪1，＋∞，
所以直线QR的方程为x＝my＋3－74，
则直线QR过定点－74，－3
5．已知函数fx＝e2xx3＋ax＋4xcosx＋1，gx＝ex－mx＋1．1当m≥1时，求函数gx的极值；2若a≥－72，证明：当x∈01时，fxx＋1解：1由题意可知g′x＝ex－m，
当m≥1时，由g′x＝0得x＝l
m，
由xl
m得g′x0，gx单调递增；由xl
m得g′x0，gx单调递减．
所以函数gx只有极小值，且极小值为gl
m＝m－ml
m＋1＝－ml
m
2证明：当x∈01时，要证fxx＋1，
x＋1即证x3＋ax＋4xcosx＋1e2x
f由1得，当m＝1时，gx＝ex－x＋1≥0，即ex≥x＋1，
所以e2x≥x＋12，所以xe＋2x1x＋11，x∈01，
x3＋ax＋4xcos
x＋1x＋1－e2xx3＋ax＋4xcos
x＋1－1＝x3＋ax＋4xcosx＋1
x＋x＝x，x＋1
x2＋4cos
x＋a＋x＋11
令hx＝x2＋4cosx＋a＋1，x＋1
则h′x＝2x－4si
x－x＋112，令Ix＝2x－4si
x，则I′x＝2－4cosx＝21－2cosx，当x∈01时，cosxcos1cosπ3＝12，所以1－2cosx0，所以I′x0，所以Ix在01上为减函数，所以当x∈01时，IxI0＝0，h′x0，所以hx在01上为减函数，因此，当x∈01时，hxh1＝a＋32＋4cos1，因为4cos14cosπ3＝2，而a≥－72，所以a＋32＋4cos10，所以当x∈01时，hx0，
x＋1所以x3＋ax＋4xcosx＋1e2x成立，所以当x∈01时，fxx＋1成立．
难点题型拔高练四
1．已知函数fx＝mx－1－
l
xm00≤
≤e在区间1，e内有唯一零点，则m
＋＋21的取值范围为

fAe2＋e＋e＋21，2e＋1
Be＋21，2e＋1r