【典型例题】
条件概率及相互独立事件
例1甲、乙两个人独立地破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为和，求：
（1）两个人都译出密码的概率；（2）两个人都译不出密码的概率；（3）恰有1个人译出密码的概率；（4）至多1个人译出密码的概率；（5）至少1个人译出密码的概率．
分析：我们把“甲独立地译出密码”记为事件，把“乙独立地译出密码”记为事
件，显然
为相互独立事件，问题（1）两个都译出密码相当于事件、同时
发生，即事件．问题（2）两人都译不出密码相当于事件．问题（3）恰有1个人译出密码可以分成两类：发生不发生，不发生发生，即恰有1个人译出密码相
当于事件
．问题（4）至多1个人译出密码的对立事件是两个人都未译出密码，
即事件．由于、是独立事件，上述问题中，与，与，与是相互独立事件，可以用公式计算相关概率．
解：记“甲独立地译出密码”为事件，“乙独立地译出密码”为事件，、
为相互独立事件，且
．
（1）两个人都译出密码的概率为：
．（2）两个人都译不出密码的概率为：
f（3）恰有1个人译出密码可以分为两类：甲译出乙未译出以及甲未译出乙译出，且两个事件为互斥事件，所以恰有1个人译出密码的概率为：
（4）“至多1个人译出密码”的对立事件为“有两个人译出密码”，所以至多1个人
译出密码的概率为：
．
（5）“至少有1个人译出密码”的对立事件为“两人未译出密码”，所以至少有1个人译出密码的概率为：
．
说明：如果需要提高能译出密码的可能性，就需要增加可能译出密码的人，现在可以提出这样的问题：若要达到译出密码的概率为99％，至少需要像乙这样的人多少个？我们可以假设有个像乙这样的人分别独立地破译密码，此问题相当于次独立重复试验，要译出密码相当于至少有1个译出密码，其对立事件为所有人都未译出密码，能译出密码的
概率为可以计算出
，按要求，
，故
，
，即至少有像乙这样的人16名，才能使译出密码的概率达到99％．
例2如图，开关电路中，某段时间内，开关互独立的，求这段时间内灯亮的概率．
开或关的概率均为，且是相
f分析：我们把“开关合上”记为事件，“开关合上”记为事件，“开关
合上”记为事件C，
是相互独立事件且由已知，它们的概率都是，由物理学
知识，要求灯亮，有两种可能性，一个是、两开关合上，即事件
发生，另一个
是开关合上，即事件发生，也就是灯亮相当于事件
发生．
解：分别记“开关合上”、“开关r