DxA
解法二：以C为坐标原点，射线CA为x轴的正半轴，以CB长为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz．由题设知A1D与z轴平行，z轴在平面AA1C1C内．（I）设
A1a0，c
由
题
设
有
a2A200B010
则
AB210AC200AA1a20cAC1ACAA1a40cBA1a1c
由
AA12
得
a2c22
2
，
即
a24ac20
（①）．
于是
AC1BA1
a24ac20AC1A1B．
y
（II）设平面BCC1B1的法向量mx
mCB0mBB1
0．CB010
z则mCBmBB1
即
BB1AA1a20cz2
CcA
故
y0
，且
A
a2xcz0
平面
．令的
xc
，则离为
a
m
c0
，2a点
到
BCC1B1
距
osm
C×Am2cCA2mc22a
c点A到平面BCC1B1的距离为．又依题设，
3c
3．代入①解得a3（舍去）或a1．于是AA1103．设平面ABA1的


5
f法向量
pqr，则
AA1
AB，即
AA，故且0
AB0p3r01
2pq0．令p
3，则q23r1



3231
．又p001

为平面ABC的

p11法向量，故cos
p，∴二面角A1ABC的大小为arccos．4
p4
20（本小题满分12分）设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为06050504各人是否需使用设备相互独立（I）求同一工作日至少3人需使用设备的概率；（II）X表示同一工作日需使用设备的人数，求X的数学期望解：记Ai表示事件：同一工作日乙、丙恰有i人需使用设备，i012；B表示事件：甲需使用设备；C表示事件：丁需使用设备；D表示事件：同一工作日至少3人需使用设备．（I）DA1BCA2BA2BC，又
iPB06PC04PAiC2052i012PD
PA1BCA2BA2BCPA1BCPA2BPA2BCPA1PBPCPA2PBPA2PBPC031
（II）X的可能取值为0，1，2，3r