y

f1

2xf2
（2分）
2z
xy

ex
cos
y

f1

ex
si

y

f11excosy2yf12
2x
f21excosy2yf22
（2分）
excosyf1f11e2xsi
ycosy2yexsi
yf122xf21excosy4xyf22
excosyf1e2xsi
ycosyf112exxcosyysi
yf124xyf22（2分）
2．设函数Fxy具有一阶连续偏导数，zzxy是由方程Fxy0所确zz
定的隐函数，试求表达式xzyz。xy
解法一：方程Fxy0两端对x求导：zz
zxzxz2
F1

yzxz2
F2

0

zx

zF1xF1yF2
，同理可求，
zy

zF2（6xF1yF2
分）
xzyzz。xy
（2分）
解法二：令
uxyzFxy，则zz
1uxzF1

1uyzF2
，uz


1z2
xF1yF2

（3分）
于是，zx
uxuz

zF1xF1yF2
，
zy
uyuz

zF2xF1yF2
（3分）
考试日期2007年7月9日星期一高等数学2期末B卷答案及评分标准120分钟第3页共65页
fxzyzzxy
（2分）
四．计算下列各题（每题8分，共32分）
1．计算积分Ixydxdy。x2y2xy
解：极坐标：令xrcosyrsi
，则
I
3
4
d

si
cosr2si
cosdr
0
4
1
3
344
si
cos4d
1
3
344
1si
2si
22d2
（3分）（2分）（3分）
2．计算三重积分zdv，其中为曲面z2x2y2及zx2y2所围成的闭
区域。
解：联立的两曲面方程，得交线：x2y21，z1；
投影柱面：x2y21；在xoy面的投影域为：Dxyx2y21z0，
用柱面坐标：：0r102r2z2r2
（2分）
2
1
2r2
zdvzrdrddz0
ddr
0
r2
rzdz


21rdr12r2r4
0
2
12rr3r5dr7
0
12
（2分）（2分）（2分）
3．计算曲线积分exsi
y8ydxexcosy8dy，其中L是由点A（a，0）到点L
O（0，0）的上半圆周x2y2axy0a0
解：设Pxexsi
y8yQxexcosy8，由格林公式得到
QPexcosyexcosy88xy
exsi
y8ydx
LOA
excosy8

D

Qx

Py
dxdy

8
D
dxdya2
（4分）
考试日期2007年7月9日星期一高等数学2期末B卷答案及评分标准120分钟第4页共65页
fILOAOA

D

Qx

Py
dxdy

OA

8dxdy0a2
D
（4分）
4．计算xyzdS，其中曲面为球面x2y2z2a2上zh0ha的部
分。
解：曲面的方程为zax2y2，其在xoy坐标面上的投影区域D为：
x2y2a2h2，
1zx2zy2
a
，
ax2y2
（3分）
xyzdSxyax2y2
a
d

D
ax2y2

axydad
Da2x2y2
D
（3分）
由积分区域和被积函数的对称性得
axyd0，且
Da2x2y2
adaa2h2，D
所以xyzdSaa2h2。
（2分）
五．r