2yy′′′′f′′f212f22222xx
四、11分计算曲面积分I的外侧的外侧解I
18
∫∫
Σ
xdydzydzdxzdxdyxyz
2223
，其中曲面∑为球面x2y2z24其中曲面∑曲面
∫∫xdydzydzdxzdxdy
Σ
2
f由高斯公式有I
13dv其中是由∑围成的立体是由∑围成的立体8∫∫∫
4π
五、11分（1）把
dex1的幂级数；展开为x的幂级数；dxx
（2）证明
∑
1
∞

1
1
解：（1）设sx
dex1，由于dxx
x
∑1∞x
1ex1
0
∑xx
1

∞
∞x∞
因此，此
dex1d∞x
1sx∑dxxdx
1
∑
1
2∞
x∑x
1
2
1
1
∞
（2）
又
sx
dex1xexex1dxxx2
所以，所以，当x1时，
xexex1∞
∑x
12x
1
1
s11∑
，
1
1
∞
∞x∞
所以，所以，
∑
11
1
∞


六、11分计算曲线积分∫1xe2ydxx2e2y1dy，其中L为x2y24在第一
2




L
象限沿逆时针方向的半圆弧象限沿逆时针方向的半圆弧
解：由
QP可知该曲线积分与路径无关．xy
3
∫1xedxx
2y
2
e2y1dy12

L
f求解线性微分方程的通解七、11分求解线性微分方程y′′ysi
2x的通解解对应齐次方程的通解为YC1exC2ex
fxsi
2x

因为
1cos2x2
故令yABcos2xCsi
2x
代入原方程比较系数得，A，
11BC0210
于是
y
11cos2x210
故原方程得通解为
11yYyC1exC2excos2x210
的第一卦限上求一点，过该点作曲面的切平面，八、11分在曲面z4x2y2的第一卦限上求一点，过该点作曲面的切平面，求切平面与三个坐标平面所围成的四面体的最小体积与三个坐标平面所围成的四面体的最小体积解设切点为Mx0y0z0，其中x00y00z00目标函数：目标函数：
113V8z0最小，其中x0y0z0满足z04x02y02最小，64x0y0138zλx2y2z4xy
构造拉格朗日函数Fxyzλ求得xy1z2
因驻点唯一，实际问题存在最小值，因此点112为所求的点。最小值为因驻点唯一，实际问题存在最小值，为所求的点。
V1138292411
九、5分证明
x2y2z2≤1
∫∫∫

fzdxdydzπ∫
11
fu1r