述泰勒公式在极限，敛散性判断，中值问题以及等式与不等式的证明这四个方面的具体应用方法。
2泰勒公式2泰勒公式
21具有拉格朗日余项的泰勒公式
如果函数fx在点x0的某邻域内具有
1阶导数，则对该邻域内异于x0的任意点x在x0和x之间至少一个ξ使得：
当x00时，上式称为麦克劳林公式。
22带有皮亚诺型余项的泰勒公式
如果函数fx在点x0的某邻域内具有
阶导数则对此邻域内的点x有
23带有积分型余项的泰勒公式
2
f如果函数f在点x0的某邻域Ux0内具有
1阶导数令x∈Ux0则对该邻域内异于x0的任意点x在x0和x之间至少一个t使得
fxfx0fx0xx0
f


x0xx
1x0
∫x
f

1
txt
dt
0
其中
1x
1
∫x0ftxtdt就是泰勒公式的积分型余项。

24带有柯西型余项的泰勒公式
如果函数f在点x0的某邻域Ux0内具有
1阶导数令x∈Ux0则对该邻域内异于x0的任意点x有：
fxfx0fx0xx0
R
x1f

1
f



x0xx
Rx0
x0
x0
θxx0
1θ
x

1，0≤θ≤1。
当x00时，又有R
x
1
1
fθx1θx
10≤θ≤1。

3．泰勒公式的应用
31利用泰勒公式求未定式的极限
未定式是指呈
0∞00001∞，，∞∞，∞，，∞，等形式的极0∞
限，一般是用洛比达法则求解，当分子分母的阶数都是较高阶的无穷小的话，必须进行多次洛比达法则，或是分子分母都是带根号项的话，越微分会越复杂，此时若使用泰勒公式解决，会更简单，明了。例1求极限
3
f分析：此式分子含有根号项，用洛比达法则也可以求解，不过比较繁琐。若使用泰勒公式可以将问题大大简化。解：将1x、1x在x0点的麦克劳林公式展开到x2项得：
1x1xx2οx2，28

1x1
xx2οx2。28

原式lim
（1x1）（1x1）x2
x→0
121211222x8xοx2x8xοxlimx→0x2

lim
x→0
1212xxο（x2）188。2x4
用泰勒公式方法计算极限的实质是一种利用等价无穷小的替代来计算极限的方法。我们知道当x→0时，si
xxta
xx等。这种等价无穷小其实就是将函数用泰勒公式展至一次项。有些问题用泰勒公式方法和我们已熟知的等价无穷小方法相结合，问题又能进一步简化。例2求极限lim（
x→0
112）2si
xx
解r