复合函数求导及应用
求y＝3x＋22，fu＝u2，gx＝3x＋2的导数．1．复合函数的概念对于两个函数y＝fu和u＝gx，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝fu和u＝gx的复合函数，记作y＝fgx．2．复合函数的求导法则复合函数y＝fgx的导数和函数y＝fu，u＝gx的导数间的关系为yx′＝yu′ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．
题型一简单的复合函数求导问题例1求下列函数的导数：
1y＝1－2x2；2y＝esi
x；3ysi
2x；4y＝5log22x＋1．3
解
121设yu，u＝1－2x，则y′＝u′1－2x2′＝u2
2
12
1

12
－4x
＝
1－2x112x22－4x＝1－2x22
2设y＝eu，u＝si
x，则yx′＝yu′ux′＝eucosx＝esi
xcosxπ3设y＝si
u，u＝2x＋3，则yx′＝yu′ux′＝cosu2＝2cos（2x）3104设y＝5log2u，u＝2x＋1，则y′＝5log2u′2x＋1′＝ul
2＝复合函数的求导步骤102x＋1l
2
f练习求下列函数的导数：1y＝2x－14；2y＝102x＋3；3y＝si
4x＋cos4x解：1令u＝2x－1，则y＝u4，∴y′x＝y′uu′x＝4u32x－1′＝4u32＝82x－132令u＝2x＋3，则y＝10u，∴y′x＝y′uu′x＝10ul
102x＋3′＝2l
10102x＋3113y＝si
4x＋cos4x＝si
2x＋cos2x2－2si
2xcos2x＝1－2si
22x＝1－41－cos4x3131＝4＋4cos4x所以y′＝4＋4cos4x′＝－si
4x
题型二复合函数与导数的运算法则的综合应用例2求下列函数的导数：
1y＝x1＋x2；2yxcos2xsi
2x22
解1y′＝x1＋x2′＝x′1＋x2＋x1＋x2′＝1＋x2＋x2＝1＋x2
1＋2x21＋x21＋x2ππ112∵y＝xcos2x＋2si
2x＋2＝x－si
2xcos2x＝－2xsi
4x，∴y′＝－2xsi
4x′1x1＝－2si
4x－2cos4x×4＝－2si
4x－2xcos4x练习求下列函数的导数：x1y＝si
23；2y＝si
3x＋si
x3；3y＝xl
1＋2x．解：1y′＝si
2xxsi
′＝2si
33xxxx12x3′＝si
′＝2si
3cos3333
2y′＝si
3x＋si
x3′＝si
3x′＋si
x3′＝3si
2xcosx＋cosx33x2＝3si
2xcosx＋3x2cosx33y′＝x′l
1＋2x＋xl
1＋2x′＝l
1＋2x＋题型三复合函数导数的综合问题例3设fx＝l
x＋1＋x＋1＋ax＋ba，b∈R，a，b为常数，曲线y＝fx2x1＋2x
f3与直线y＝2x在00点相切．求a，b的值．解由曲线y＝fx过00点，可得l
1＋1＋b＝0，故b＝－1由fx＝l
x＋11r