义域记作Df即DfXX中所有元素的像所组成的集合称为映射f的值域记为Rf或fX即RffXfxxX需要注意的问题1构成一个映射必须具备以下三个要素集合X即定义域DfX集合Y即值域的范围RfY对应法则f使对每个xX有唯一确定的yfx与之对应2对每个xX元素x的像y是唯一的而对每个yRf元素y的原像不一定是唯一的映射f的值域Rf是Y的一个子集即RfY不一定RfY例1设fRR对每个xRfxx2显然f是一个映射f的定义域DfR值域Rfyy0它是R的一个真子集对于Rf中的元素y除y0外它的原像不是唯一的如y4的原像就有x2和x2两个例2设Xxyx2y21Yx0x1fXY对每个xyX有唯一确定的x0Y与之对应显然f是一个映射f的定义域DfX值域RfY在几何上这个映射表示将平面上一个圆心在原点的单位圆周上的点投影到x轴的区间11上
3f11对每个xfxsi
x2222
ff是一个映射定义域Df值域Rf1122
满射、单射和双射设f是从集合X到集合Y的映射若RfY即Y中任一元素y都是X中某元素的像则称f为X到Y上的映射或满射若对X中任意两个不同元素x1x2它们的像fx1fx2则称f为X到Y的单射若映射f既是单射又是满射则称f为一一映射或双射上述三例各是什么映射？2逆映射与复合映射设f是X到Y的单射则由定义对每个yRf有唯一的xX适合fxy于是我们可定义一个从Rf到X的新映射g即gRfX对每个yRf规定gyx这x满足fxy这个映射g称为f的逆映射记作f1其定义域
Df1Rf值域Rf1X
按上述定义只有单射才存在逆映射上述三例中哪个映射存在逆映射？设有两个映射gXY1fY2Z其中Y1Y2则由映射g和f可以定出一个从X到Z的对应法则它将每个xX映射成fgxZ显然这个对应法则确定了一个从X到Z的映射这个映射称为映射g和f构成的复合映射记作fog即fogXZfogxfgxxX应注意的问题映射g和f构成复合映射的条件是g的值域Rg必须包含在f的定义域内RgDf否则不能构成复合映射由此可以知道映射g和f的复合是有顺序的fog有意义并不表示gof也有意义即使fog与gof都有意义复映射fog与gof也未必相同例4设有映射gR11对每个xr