31因为DE分别为棱PCAC的中点所以DE∥PA又因为PA平面DEFDE平面DEF所以直线PA∥平面DEF
2因为DEF分别为棱PCACAB的中点PA6BC8所以DE∥PADE又因为DF5故DF2DE2EF2所以∠DEF90°即DE⊥EF又PA⊥ACDE∥PA所以DE⊥AC因为AC∩EFEAC平面ABCEF平面ABC所以DE⊥平面ABC又DE平面BDE
PA3EF
BC4
f所以平面BDE⊥平面ABC
42014山东1712分如图在四棱柱ABCDA1B1C1D1中底面ABCD是等腰梯形∠DAB60°AB2CD2M是线段AB的中点Ⅰ求证C1M∥平面A1ADD1
Ⅱ若CD1垂直于平面ABCD且CD1值
求平面C1D1M和平面ABCD所成的角锐角的余弦
4查看解析4Ⅰ证明因为四边形ABCD是等腰梯形且AB2CD所以AB∥DC又由M是AB的中点因此CD∥MA且CDMA
连结AD1在四棱柱ABCDA1B1C1D1中因为CD∥C1D1CDC1D1可得C1D1∥MAC1D1MA
f所以四边形AMC1D1为平行四边形因此C1M∥D1A又C1M平面A1ADD1D1A平面A1ADD1所以C1M∥平面A1ADD1Ⅱ解法一连结ACMC由Ⅰ知CD∥AM且CDAM所以四边形AMCD为平行四边形
可得BCADMC由题意∠ABC∠DAB60°所以△MBC为正三角形
因此AB2BC2CA因此CA⊥CB

以C为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz
所以A
00B010D100

因此M

所以





设平面C1D1M的法向量
xyz
由
得
f可得平面C1D1M的一个法向量
1
1
又
00
为平面ABCD的一个法向量
因此cos




所以平面C1D1M和平面ABCD所成的角锐角的余弦值为

解法二由Ⅰ知平面D1C1M∩平面ABCDAB过C向AB引垂线交AB于N连结D1N由CD1⊥平面ABCD可得D1N⊥AB因此∠D1NC为二面角C1ABC的平面角在Rt△BNC中BC1∠NBC60°
可得CN

所以ND1


在Rt△D1CN中cos∠D1NC



所以平面C1D1M和平面ABCD所成的角锐角的余弦值为

f52014北京1714分如图正方形AMDE的边长为2BC分别为AMMD的中点在五棱锥PABCDE中F为棱PE的中点平面ABF与棱PDPC分别交于点GHⅠ求证AB∥FGⅡ若PA⊥底面ABCDE且PAAE求直线BC与平面ABF所成角的大小并求线段PH的长
5查看解析5Ⅰ在正方形AMDE中因为B是AM的中点所以AB∥DE又因为AB平面PDE所以AB∥平面PDE因为AB平面ABF且平面ABF∩平面PDEFG所以AB∥FGⅡ因为PA⊥底面ABCDE所以PA⊥ABPA⊥AE
如图建立空间直角坐标系Axyz则A000B100C210P002F011
110
设平面ABF的法向量为
xyz
f则
即
令z1则y1所以
011设直线BC与平面ABF所成角为α
则si
αcos




因此直线BC与平面ABF所成角的r