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理数12014江西七校高三上学期第一次联考7已知和是两条不同的直线，和是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中一定能推出⊥的是（）ABCD1C1对选项A，与平行或相交；对选项B，与平行或相交；选项C正确；选项D，与平行或相交故选C22014湖北1912分如图在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中EFMN分别是棱ABADA1B1A1D1的中点点PQ分别在棱DD1BB1上移动且DPBQλ0λ2Ⅰ当λ1时证明直线BC1∥平面EFPQⅡ是否存在λ使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角若存在求出λ的值若不存在说明理由且且且⊥且
2查看解析2解法一几何方法Ⅰ证明如图1连结AD1由ABCDA1B1C1D1是正方体知BC1∥AD1当λ1时P是DD1的中点又F是AD的中点
f所以FP∥AD1所以BC1∥FP而FP平面EFPQ且BC1平面EFPQ故直线BC1∥平面EFPQ
Ⅱ如图2连结BD因为EF分别是ABAD的中点
所以EF∥BD且EF
BD又DPBQDP∥BQ
所以四边形PQBD是平行四边形故PQ∥BD且PQBD
从而EF∥PQ且EF
PQ
在Rt△EBQ和Rt△FDP中因为BQDPλBEDF1
于是EQFP
所以四边形EFPQ是等腰梯形
同理可证四边形PQMN是等腰梯形分别取EFPQMN的中点为HOG连结OHOG则GO⊥PQHO⊥PQ而GO∩HOO故∠GOH是面EFPQ与面PQMN所成的二面角的平面角若存在λ使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角则∠GOH90°连结EMFN则由EF∥MN且EFMN知四边形EFNM是平行四边形连结GH因为HG是EFMN的中点所以GHME2
在△GOH中GH24OH21λ2
λ2

fOG212λ2
2λ2

由OG2OH2GH2得2λ2
λ2
4
解得λ1±

故存在λ1±
使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角
解法二向量方法以D为原点射线DADCDD1分别为xyz轴的正半轴建立如图3所示的空间直角坐标系Dxyz由已知得B220C1022E210F100P00λ
202
10λ
110
Ⅰ证明当λ1时
101
因为
202所以
2
即BC1∥FP
而FP平面EFPQ且BC1平面EFPQ故直线BC1∥平面EFPQⅡ设平面EFPQ的一个法向量为
xyz
则由
可得
于是可取
λλ1
同理可得平面MNPQ的一个法向量为mλ22λ1若存在λ使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角则m
λ22λ1λλ10
f即λλ2λ2λ10解得λ1±

故存在λ1±
使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角
32014江苏1614分如图在三棱锥PABC中DEF分别为棱PCACAB的中点已知PA⊥ACPA6BC8DF5求证1直线PA∥平面DEF2平面BDE⊥平面ABC
3查看解析r