1984年全国高中数学联赛
冯惠愚
1984年全国高中数学联赛试题
第一试1．选择题本题满分40分，每小题答对得5分答错得0分，不答得1分－2⑴集合SZargZα，α为常数在复平面上的图形是
A．射线argZ2αB．射线argZ－2αC．射线argZαD．上述答案都不对2⑵下列四个图形的阴影部分不包括边界满足不等式logxlogxy0的是
y
1
x1y2x
y
1
x1y2x
y
1
x1y2x
y
1
x1y2x
O
1
x
O
1
x
O
1
x
O
1
x
A
B
C
D
1⑶对所有满足1
m5的m，
，极坐标方程ρ表示的不同双曲线条数是
1－CmcosθA．15B．10C．7⑷方程si
xlgx的实根个数是A．1B．2C．3⑸若a0，a≠1，Fx是一个奇函数，则GxFxA．奇函数11是a－12
x

D．6D．大于3
B．偶函数
C．不是奇函数也不是偶函数B．F－xF1x1－x
D．奇偶性与a的具体数值有关
1－x⑹若Fx，则下列等式中正确的是1xA．F－2－x－2－Fx
－
C．Fx1FxD．FFx－x⑺若动点Px，y以等角速度ω在单位圆上逆时针运动，则点Q－2xy，y2－x2的运动方式是A．以角速度ω在单位圆上顺时针运动B．以角速度ω在单位圆上逆时针运动C．以角速度2ω在单位圆上顺时针运动D．以角速度2ω在单位圆上逆时针运动⑻若四面体的一条棱长是x，其余棱长都是1，体积是Fx，则函数Fx在其定义域上A．是增函数但无最大值B．是增函数且有最大值C．不是增函数但无最大值D．不是增函数但有最大值2．填充题本题满分10分，每小题5分⑴如图，AB是单位圆的直径，在AB上任取一点D，作DC⊥AB，交圆周于yC，若点D的坐标为Dx，0，则当x∈时，线段AD、BD、CD可1C以构成锐角三角形．BDAO1x⑵方程coscosx的通解是，在0，24π内不相同的解有4个．
1
x
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冯惠愚
第二试1．本题满分15分下列命题是否正确？若正确，请给予证明．否则给出反例．⑴若P、Q是直线l同侧的两个不同点，则必存在两个不同的圆，通过P、Q且与直线l相切；⑵若a0，b0，且a≠1，b≠1，则logablogba2．⑶设A、B是坐标平面上的两个点集，Crx，yx2y2r2，若对任何r0，都有Cr∪ACr∪B，则必有AB．
2．本题满分10分已知两条异面直线a、b所成的角为θ，它们的公垂线AA的长度为d，在直线a、b上分别取点E、F，设AEm，AF
，求EFA在直线a上，A在直线b上．
3．本题满分15分如图，在△ABC中，P为边BC上任意一点，PE∥BA，PF∥CA，若S△ABC1，证4明：S△BPF、S△PCE、S□PEAF中至少有一个不小于SXYZ表示多r