八个有趣模型搞定空间几何体的外接球与内切球
类型一、墙角模型（三条线两个垂直，不找球心的位置即可求出球半径三棱锥与长方体的外接球相同）
P
c
A
b
C
a
B
A
P
c
C
b
a
B
P
A
a
cCbB
PO2
c
B
b
C
a
A
图1
图2
图3
图4
方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式2R2a2b2c2，即2Ra2b2c2，求出R
例1（1）已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是（
）
A．16
B．20
C．24
D．32
（2）若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是
（3）在正三棱锥SABC中，M、N分别是棱SC、BC的中点，且AMMN若侧棱SA23则
正三棱锥SABC外接球的表面积是
。
解：引理：正三棱锥的对棱互垂直，证明如下：
如图（3）1，取ABBC的中点DE，连接AECD，AECD交于H，连
S
接SH，则H是底面正三角形ABC的中心，SH平面ABC，SHAB，
ACBC，ADBD，CDAB，AB平面SCD，ABSC，
同理：BCSA，ACSB，即正三棱锥的对棱互垂直，
本题图如图（3）2，AMMN，SBMN，AMSB，ACSB，SB平面SAC，SBSA，SBSC，SBSA，BCSA，
A
C
D
HE
B3题1
SA平面SBC，SASC，故三棱锥SABC的三棱条侧棱两两互垂直，
2R223223223236，即4R236，外接球的表面积是36
S
M
A
C
N
B3题2
1
f（4）在四面体SABC中，SA平面ABC，BAC120SAAC2AB1则该四面体的外接
球的表面积为（）
A11
B7
C10
D40
3
3
（5）如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为6、4、3，那么它的外接球的表面积是
（6）已知某几何体的三视图如图上右所示，三视图是腰长为1的等腰直角三角形和边长为1的正方形，则该几何体外接球的体积为
类型二、垂面模型（一条直线垂直于一个平面）
1．题设：如图5，PA平面ABC
解题步骤：
第一步：将ABC画在小圆面上，A为小圆直径的一个端点，作小圆的直P径AD，连接PD，则PD必过球心O；
第二步：O1为ABC的外心，所以OO1平面ABC，算出小圆O1的半
A
径O1Dr（三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得
asi
A

bsi
B

csi
C

2r），OO1

12
PA；
O
C
O1
D
B
图5
第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①2R2PA22r22RPA22r2；
②R2r2OO12Rr2OO12
2
f2．题设：如图6，7，8，P的射影是ABC的外心三棱锥PABC的三条侧棱相等三棱锥PABC的底面ABC在圆锥的底上，顶点P点也是圆锥的顶点
P
P
P
P
AB
OC
O1B
图6
D
A
OC
O1
图71
B
A
P
P
A
A
O2
B
C
D
O
O2
C
r