专题18直角三角形
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直角三角形是一类特殊三角形，有以下丰富的性质：角的关系：两锐角互余；边的关系：斜边的平方等于两直角边的平方和；边角关系：30所对的直角边等于斜边的一半这些性质广泛应用于线段计算、证明线段倍分关系、证明线段平方关系等方面在现阶段，勾股定理是求线段的长度的主要方法，若图形缺少条件直角条件，则可通过作辅助垂线的方法，构造直角三角形为勾股定理的应用创造必要条件；运用勾股定理的逆定理，通过代数方法计算，也是证明两直线垂直的一种方法熟悉以下基本图形基本结论：
30°
例题与求解
【例l】（1）直角△ABC三边的长分别是x，x1和5，则△ABC的周长＝_____________△ABC的面积＝_____________（2）如图，已知Rt△ABC的两直角边AC＝5，BC＝12，D是BC上一点，当AD是∠A的平分线时，则CD＝_____________
A
C
D
B
（太原市竞赛试题）解题思路：对于（1），应分类讨论；对于（2），能在Rt△ACD中求出CD吗？从角平分线性质入手【例2】如图所示的方格纸中，点A，B，C，都在方格线的交点，则∠ACB＝（A120°B135°C150°D165°）
CAB
f（“希望杯”邀请赛试题）解题思路：方格纸有许多隐含条件，这是解本例的基础
【例3】如图，P为△ABC边BC上的一点，且PC＝2PB，已知∠ABC＝45°，∠APC＝60°，求∠ACB的度数
A
B
P
C
（“祖冲之杯”邀请赛试题）解题思路：不能简单地由角的关系推出∠ACB的度数，综合运用条件PC＝2PB及∠APC＝60°，构造出含30°的直角三角形是解本例的关键【例4】如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，分别以AB，AC为边在△ABC的外侧作等边△ABE和等边△ACD，DE与AB交于F，求证：EF＝FD
EBFAC
D
（上海市竞赛试题）解题思路：已知FD为Rt△FAD的斜边，因此需作辅助线，构造以EF为斜边的直角三角形，通过全等三角形证明【例5】如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝30°，∠ADC＝60°，AD＝CD，求证：
BDAB2BC2
2
A
DC
B
（北京市竞赛试题）解题思路：由待证结论易联想到勾股定理，因此，三条线段可构成直角三角形，应设法将这三条线段集中在同一三角形中【例6】斯特瓦尔特定理：
f如图，设D为△ABC的边BC上任意一点，a，b，c为△ABC三边长，则
AD2
b2BDc2DCBDDC请证明结论成立a
A
B
D
C
解题思路：本题充分体现了勾股定理运用中的数形结合思想
能力训练A级
1如图，D为△ABC的边BC上一点，已知AB＝13，AD＝12，AC＝15，BD＝5，则BC＝_____________
A
C
D第1题
B
2如r