数学著作。三卷。北魏张丘建丘或作“邱”撰。约成书于北魏天安元年太和九年466485年之间。张丘建,生平事迹不详。自序最后题“清河张丘建谨序”,清河是张姓郡望,未必是作者的籍贯。南北朝时北魏人。《张丘建算经》是一部数学问题集,传本分为上、中、下三卷。卷中结尾及卷下开头均已残缺,保存下来的共有92个数学问题及其解答,其内容、范围与《九章算术》相仿,在最大公约数与最小公倍数、等差数列、不定方程等方面则超过了《九章算术》的水平。卷上第十题、第十一题涉及最小公倍数的概念与计算,其中第十题为:“今有封山周栈三百二十五里,甲、乙、丙三人同绕周栈行。甲日行一百五十里,乙日行一百二十里,丙日行九十里。问周行几何日会。”由于甲、乙、丙绕栈道一周所需的时间分别是
故三人相会所需的时间是这三个数的最小公倍数,根据书中的解答,一般地有如下结果:设a,b,c,e都是正整数,若将a,b,c的最大公约数记为
又将ea,eb,ec的最小公倍数记为
则书中相当于给出了最大公约数与最小公倍数之间的如下关系
《张丘建算经》中有大约十个题目是关于等差数列的各种问题及其解法的,有些是继承以往的成果,但更多地则是创新,根据书中的解答,张丘建实际上得到了下列结果:设a1,a2,,a
是一等差数列,公差为d,又记
f这些结果说明,至迟到五世纪,在中国传统数学中已经具备了系统的等差数列理论,同类结果直到七世纪才在印度人的著作中出现。《张丘建算经》最引人注目的内容是提出并解决了一个在数学史上非常著名的不定方程问题,通常称为百鸡问题,卷下第三十八题:“今有鸡翁一值钱五,鸡母一值钱三,鸡雏三值钱一。凡百钱买鸡百只,问鸡翁、母、雏各几何。”若设鸡翁、母、雏的只数分别为x,y,z,依题意有
这是一个不定方程问题。书中给出的答案是:
并且指出:“鸡翁每增四,鸡母每减七,鸡雏每益三,即得。”这实际上指出,在求得了方程组5的一组特解x0,y0,z0之后,其余的解可由下列关系得到:
其中t取适当的整数值,使所得结果符合题意。不定方程虽在《九章算术》中已经出现,但当时并无明确的认识,刘徽注《九章》注意到了这类问题,却未作进一步的研究。因此,《张丘建算经》中的百鸡问题实开中国古代不定方程研究的先河,其影响一直持续到十九世纪。这一问题曾先后传入印度、阿拉伯及欧洲,出现在摩诃毗罗九世纪、婆什迦罗11141185、阿尔卡西十五世纪和斐波那契十三世纪等人的著作中。《隋书r