为a，各面均为等边三角形的四面体S－ABC，求它的表面积
解先求△SBC的面积，过点S作SD⊥BC，交BC于点D
因为BC＝a，SD＝SB2－BD2＝所以S△SBC＝12BCSD
a2－2a2＝23a
＝12a×23a＝43a2
因此，四面体S－ABC的表面积S＝4×43a2＝3a2
类型二空间几何体的体积互动探究【例2】如图，三棱台ABC－A1B1C1中，AB∶A1B1＝1∶2，求三棱锥A1－ABC，三棱锥B－A1B1C，三棱锥C－A1B1C1的体积之比
思路探究
探究点一题中三棱台与三棱锥有什么关系？
提示题中三个三棱锥可看作是由三棱台分割而成的
探究点二求体积的常用方法有哪些？
提示求几何体体积的常用方法有：公式法，等积变换法，补体法，分割法
解设棱台的高为h，S△ABC＝S，则S△A1B1C1＝4S∴VA1－ABC＝13S△ABCh＝13Sh，
VC－A1B1C1＝13S△A1B1C1h＝43Sh
又V台＝13hS＋4S＋2S＝73Sh，
VVVV∴＝－－B－A1B1C
台
A1－ABC
C－A1B1C1
＝73Sh－S3h－43Sh＝23Sh，
3
f∴体积比为1∶2∶4规律方法求几何体体积的常用方法
学习资料值得拥有
【训练2】如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，求A到平面A1BD的距离d
解在三棱锥A1－ABD中，AA1⊥平面ABD，AB＝AD＝AA1＝a，
A1B＝BD＝A1D＝2a，
VV∵＝，A1－ABD
A－A1BD
∴13×12a2a＝13×12×
2a×
32
2ad
∴d＝33a∴A到平面A1BD的距离为33a
类型三与三视图有关的表面积、体积问题【例3】一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正视图如图所示，则该四棱锥侧面积和体积分别是
A45，8
B45，83
C45＋1，83
D8，8
解析由正视图得出四棱锥的底面边长与高，进而求出侧面积与体积
4
f学习资料值得拥有
由正视图知：四棱锥的底面是边长为2的正方形，四棱锥的高为2，
∴V＝13×22×2＝83四棱锥的侧面是全等的等腰三角形，底为2，高为5，
∴S
1侧＝4×2×2×
5＝4
5
答案B
规律方法1解答此类问题的关键是先由三视图还原作出直观图，然后根据三视图中的数据在直观
图中求出计算体积所需要的数据
2若由三视图还原的几何体的直观图由几部分组成，求几何体的体积时，依据需要先将几何体分割
分别求解，最后求和
【训练3】已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是________．
解析由三视图可大致画出三棱锥的直观图如图，
由正、俯视图可知，△ABC为等腰三角形，且AC＝23，AC边上的高为1，∴S△ABC＝12×23×1＝3
由侧视图可知：三棱锥的高h＝1，∴VS－ABC＝13S△ABCh＝33
答案
33
课堂小结1圆柱、圆锥、圆台的侧面积分别是它们侧面展开图的面积，因此弄清侧面展开图的r