2a②，则②2－①得
PF1
PF2
2b21cos
．
故SF1PF2

12
PF1

PF2
si

12b2si
21cos
b2ta
．2
例6已知椭圆x2y212
（1）求过点P1，1且被P平分的弦所在直线的方程；22
（2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；
（3）过A2，1引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；
解：设弦两端点分别为Mx1，y1，Nx2，y2，线段MN的中点Rx，y，则
xx1222x1

2y122y22x2
2，2，2x，
y1y22y，
①
①－②得x1x2x1x22y1y2y1y20．
②
由题意知x1x2，则上式两端同除以x1x2，有
③④
x1

x22y1

y2
y1x1

y2x2

0，
将③④代入得x2yy1y20．⑤
x1x2
（1）将x1，y1代入⑤，得y1y21，故所求直线方程为：
2
2
x1x22
2x4y30．⑥
f将⑥代入椭圆方程x22y22得6y26y10，364610符合题意，
4
4
2x4y30为所求．
（2）将y1y22代入⑤得所求轨迹方程为：x1x2
内部分）（3）将y1y2y1代入⑤得所求轨迹方程为：
x1x2x2圆内部分）
x4y0．（椭圆x22y22x2y0．（椭
例7已知椭圆4x2y21及直线yxm．（1）当m为何值时，直线与椭圆有公共点？（2）若直线被椭圆截得的弦长为210，求直线的方程．
5解：（1）把直线方程yxm代入椭圆方程4x2y21得
4x2xm21，
即5x22mxm210．2m245m2116m2200，解得
5m5．
2
2
（2）设直线与椭圆的两个交点的横坐标为
x1，
x2
，由（1）得
x1

x2


2m5
，
x1x2

m215
．
根据弦长公式得
：
112

2m
2


4
m2
1

2
10
．解得m0．方
5
5
5
程为yx．
．
f例8求中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过A32和B231两点的椭圆方程
分析：由题设条件焦点在哪个轴上不明确，椭圆标准方程有两种情形，为了计算简便起见，
可设其方程为mx2
y21m0，
0，且不必去考虑焦点在哪个坐标轴上，直接可求出方程．
解：设所求椭圆方程为mx2
y21m0，
0．由A32和B231
两点在椭圆上可得
mm

32
232
221
121
即
3m4
12m

11
所以
m

115
，


15
．故所求的椭圆方
程为x2y21．155
例9已知长轴为12，短轴长为6，焦点在x轴上的椭圆，过它对的左焦点F1作倾斜解为的直线交椭圆于A，B两点，求弦AB的长．
3
分析：可以利用弦长公式AB1k2x1x21k2x1x224x1x2求得，
也可以利用椭圆定义及余弦定理，还可以利用焦点半径来求．解：法1利用直线与椭圆相交的弦长公式求解．
AB1k2x1x21k2x1x224x1x2．因为a6，b3r