第3讲
【2013年高考会这样考】1．考查平面向量数量积的运算．
平面向量的数量积
2．考查利用数量积求平面向量的夹角、模．3．考查利用数量积判断两向量的垂直关系．【复习指导】本讲复习时，应紧扣平面向量数量积的定义，理解其运算法则和性质，重点解决平面向量的数量积的有关运算，利用数量积求解平面向量的夹角、模，以及两向量的垂直关系．
基础梳理1．两个向量的夹角
→＝a，OB→＝b，则∠AOB＝θ0°已知两个非零向量a和b如图，作OA≤θ≤180°叫做向量a与b的夹角，当θ＝0°时，a与b同向；当θ＝180°时，a与b反向；如果a与b的夹角是90°，我们说a与b垂直，记作a⊥b2．两个向量的数量积的定义已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量abcosθ叫做a与b的数量积或内积，记作ab，即ab＝abcosθ，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0a＝03．向量数量积的几何意义数量积ab等于a的长度a与b在a的方向上的投影bcosθ的数量积．4．向量数量积的性质设a、b都是非零向量，e是单位向量，θ为a与b或e的夹角．则1ea＝ae＝acosθ；2a⊥bab＝0；
f3当a与b同向时，ab＝ab；当a与b反向时，ab＝－ab，特别的，aa＝a2或者a＝aa；ab4cosθ＝ab；5ab≤ab5．向量数量积的运算律1ab＝ba；2λab＝λab＝aλb；3a＋bc＝ac＋bc6．平面向量数量积的坐标运算设向量a＝x1，y1，b＝x2，y2，向量a与b的夹角为θ，则1ab＝x1x2＋y1y2；
22a＝x21＋y1；
3cos〈a，b〉＝
x1x2＋y1y222；x1＋y2x212＋y2
4a⊥bab＝0x1x2＋y1y2＝0→＝a，则a＝x－x2＋y－y2平面内两点间7．若Ax1，y1，Bx2，y2，AB1212的距离公式．
一个条件两个向量垂直的充要条件：a⊥bx1x2＋y1y2＝0两个探究1若ab＞0，能否说明a和b的夹角为锐角？2若ab＜0，能否说明a和b的夹角为钝角？三个防范1若a，b，c是实数，则ab＝acb＝ca≠0；但对于向量就没有这样的性质，即若向量a，b，c若满足ab＝aca≠0，则不一定有b＝c，即等式两边不能同时约去一个向量，但可以同时乘以一个向量．2数量积运算不适合结合律，即abc≠abc，这是由于abc表示一个与c共线的向量，abc表示一个与a共线的向量，而a与c不一定共线，
f因此abc与abc不一定相等．3向量夹角的概念要领会，比如正三角形ABC中，→AB与→BC的夹角应为120°，而不是60°双基自测1．人教A版教r