极坐标系与参数方程
编稿：侯彬审稿：安东明责编：辛文升一、基础知识回顾1．极坐标系
（1）建系：如图所示，在平面上取一个定点O，由O点出发的一条射线Ox，一个长度单位及计算角度的
正方向（通常取逆时针方向）合称为一个极坐标系。O点称为极点，Ox称为极轴。
平面上任意点M的位置可以由线段OM的长度（≥0）和从Ox到OM的角
度来刻画，这两个数组
成的有序数对下，我们用弧度制度
称为点M的极坐标。称为极径，称为极角。多数情况
量。注意：平面上的点与其极坐标之间不具有一一对应关系，因为若点M的一组极坐
标为
，则
（k∈Z）也是点M的极坐标。若限定
外，点其极坐标一一对应。
（2）极坐标系与直角坐标系的互化
，则除原点
在平面上取定了一个极坐标系，以极轴作为直角坐标系的x轴的正半轴，以
的射线作y轴的正半轴，以极点为坐标原点，长度单位不变，建立一个直角坐标系。
设M为平面上的一点，它的直角坐标为（x，y），极坐标为
。画图可知：
，或
。
（3）曲线的极坐标方程的概念
在给定的平面上的极坐标系下，有一个二元方程
极坐标
满足
。如果曲线C是由
f方程的所有点组成的，则称此二元方程
为曲线C的极坐标方程。
也就是说：①以方程的解为坐标的点在曲线C上；②曲线C上的点的至少一组坐标是方程的解。
（4）直线的极坐标方程
①经过极点：
或
。
②垂直于极轴且与极点距离为a（＞0）：
。
③平行于极轴且与极点距离为a（＞0）：
。
（5）圆的极坐标方程
①圆心为极点，半径为r：
。
②圆心为（r，0），半径为r：
。
③圆心为
，半径为r：
。
④圆心为
，半径为r：
。
⑤圆心为
，半径为r：
。
2．参数方程
（1）定义：平面直角坐标系上点的坐标x，y表示为第三个变量t的函数
，参数t是联系x，y的桥梁，消去t即得到方程Fx，y0。注意：①对t的每一取值，方程组确定的点（x，y）在曲线上；
②线上任一点（x，y）都可由t的某一取值通过方程组可得到。
（2）已知直线经过定点P0x0，y0，倾斜角为，则方向向量线上任意一点
，，直
Px，y满足
，则
（t为参数）。
注意：参数t的意义：
①t的符号：相对于P0（x0，y0）的位置。②t的绝对值：P0Pt。
f若已知一般的方向向量
时参数t就不具有上述参数方程的意义。
类似于上述过程
（t为参数），但此
（3）圆
的参数方程：
，为参数。
椭圆的参数方程：
，为参数。
二、典型例题
1．设点
，直线过极点且垂直于极轴，分别求点M关于极轴，直线，
r