八.几何计算题选讲
几何计算题历年来是中考的热点问题。几何计算是以推理为基础的几何量的计算,主要有线段与弧的长度计算、角和弧的度数计算、三角函数值的计算、线段比值的计算以及面积、体积的计算,从图形上分类有:三角形、四边形、多边形以及圆的有关计算。解几何计算题的常用方法有:几何法、代数法、三角法等。一、三种常用解题方法举例例1.如图,在矩形ABCD中,以边AB为直径的半圆O恰与对边CD相切于T,与对角线AC交于P,PE⊥AB于E,AB10,求PE的长解法一:解法一(几何法)连结OT,则OT⊥CD,且OTBCOT5AC1002555
2
1AB=52
DTPC
∵BC是⊙O切线,∴BCCPCA∴PC5,∴APCACP45
∵PE∥BC∴
45PEAP,PE×54BCAC55
A
O
E
B
说明:几何法即根据几何推理,由几何关系式进行求解的方法,推理时特别要注意图形中的隐含条件解法二:解法二(代数法)∵PE∥BC,∴
PEAEPECB1∴CBABAEAB2
设:PEx,则AE2x,EB102x0连结PB∵AB是直径,∴∠APB90在Rt△APB中,PE⊥AB,∴△PBE∽△APE∴
EBPE1∴EP2EB,即x2(102x)EPAE2
解得x4∴PE4说明:代数法即为设未知数列方程求解,关键在于找出可供列方程的相等关系,例如:相似三角形中的线段比例式;勾股定理中的等式;相交弦定理、切割线定理中的线段等积式,以及其他的相等关系解法三:(三角法)解法三:连结PB,则BP⊥AC设∠PABα在Rt△APB中,AP10COSα,在Rt△APE中,PEAPsi
α∴PE10si
αCOSα在Rt△ABC中BC5AC55∴si
α
555
55
10
COSα
55
25525∴PE10×4×555
说明:在几何计算中,必须注意以下几点:(1)注意“数形结合”,多角度,全方位观察图形,挖掘隐含条件,寻找数量关系和相等关系(2)注意推理和计算相结合,先推理后计算,或边推理边计算,力求解题过程规范化(3)注意几何法、代数法、三角法的灵活运用和综合运用二其他题型举例DCCE切⊙O于E,BA的例2如图,ABCD是边长为2a的正方形,为半圆O的直径,AB与延长线交于F,求EF的长
E
F
A
O
B
f分析:本题考察切线的性质、切割线定理、相似三角形性质、以及正方形有关性质本题可用代数法求解解:连结OE,∵CE切⊙O于E,∴OE⊥CF∴△EFO∽△BFC,∴设EFx,则FB2x,FA2x2a22∵FE切⊙O于E∴FEFAFB,∴x(2x2a)x2解得x
OEFE111,又∵OEABBC,∴EFFBBCFB222
44a,∴EFa33
例3.已知:如图,⊙O1与⊙O2相交于点A、B,且点O1在⊙O2上,连心线O1O2交⊙r