32π＝si
α
＝si
α－π6＋π6
＝si
α－π6cosπ6＋cosα－π6si
π6
＝14×23＋415×12＝
3＋8
15
2．解1由余弦定理，得cosB＝a2＋2ca2c－b2＝23aacc＝23
因为B是三角形的内角，所以B＝π62由正弦定理，得sia
A＝sib
B＝sic
C，
代入2bcosA＝3ccosA＋acosC，
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f可得2si
BcosA＝3si
CcosA＋si
AcosC，即2si
BcosA＝3si
B因为B∈0，π，所以si
B≠0，所以cosA＝23，所以A＝π6，则C＝π－A－B＝23π设AC＝mm0，则BC＝m，所以CM＝12m在△AMC中，由余弦定理，得AM2＝CM2＋AC2－2CMACcos23π，即72＝14m2＋m2－212mm－12，整理得m2＝4，解得m＝2所以S△ABC＝12CACBsi
23π＝12×2×2×23＝33．解1因为m∥
，所以a＋bsi
A－si
B－csi
A－si
C＝0由正弦定理，得a＋ba－b－ca－c＝0，即a2＋c2－b2＝ac由余弦定理，得cosB＝a2＋2ca2c－b2＝2aacc＝12因为B∈0，π，所以B＝π32设∠BAD＝θ，则在△BAD中，由B＝π3，可知θ∈0，2π3．由正弦定理及AD＝3，得siB
Dθ＝错误＝错误＝2，所以BD＝2si
θ，AB＝2si
23π－θ＝3cosθ＋si
θ所以a＝2BD＝4si
θ，c＝AB＝3cosθ＋si
θ从而a＋2c＝23cosθ＋6si
θ＝43si
θ＋π6．由θ∈0，23π，可知θ＋π6∈π6，5π6，所以当θ＋π6＝π2，即θ＝π3时，a＋2c取得最大值43此时a＝23，c＝3，
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f所以S△ABC＝12acsi
B＝323
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4．解1∵函数fx＝cos2x＋π3＋si
2x＝12cos2x－23si
2x＋1－c2os2x＝12－23si
2x，∴最小正周期T＝22π＝π，
值域为1－23，1＋232∵2A→CC→B＝2ab，
∴2abcosπ－C＝2ab，cosC＝－22，∴C＝34π
又fA＝12－43，
∴12－23si
2A＝12－43，si
2A＝12，
∴A＝π12，∴B＝π6
a
b
c
由正弦定理，得si
π12＝si
π6＝si
34π，
即
a6－
2＝b1＝2
2，解得a＝2
6－
2，b＝2
4
22
∴S＝12absi
C＝3－15．解1由题意知PA⊥AC，PA⊥AB，则△PAC，△PAB均为直角三角形，在Rt△PAC中，PA＝1，∠PCA＝60°，
解得AC＝33，在Rt△PAB中，PA＝1，∠PBA＝30°，
解得AB＝3，又∠CAB＝90°，
BC＝AC2＋AB2＝330万米．
2si
∠ACD＝si
∠ACB＝3，cos∠ACD＝－1，
10
10
又∠CAD＝30°，
所以si
∠ADC＝si
30°＋∠ACD＝33－1，210
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f在△ADC中，由正弦定理，得si
A∠CADC＝si
A∠DACD，AD＝ACsi
s∠i
∠ADCACD＝9＋133万米．
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